Find content
Not Telling
515
5,5
9.5
9.25!
- TocSoanToanHoc likes this
vuhung
#10599 Những Con Số Thú Vị
Posted by
on 03-03-2005 - 00:53
#10412 Nguyên lý bù trừ trong tập hợp.
Posted by
on 01-03-2005 - 23:43
(Inclusion - Exclusion: thêm bớt)
Cho $A_{i}$ là những tập hợp hữu hạn phần tử
$$\left|\bigcup_{i=1}^N A_i\right|= \sum_{1\leq k \leq N}|A_k| - \sum_{1\leq i_1 < i_2 \leq N} |A_{i_1}\cap A_{i_2}|+ \cdots +(-1)^{N-1}|A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_N|$$
Trong đó $\Large\left|X\right|$ là số các phần tử của tập hợp $\Large X$.
Nguyên lí này rất hay được dùng trong những bài toán đếm:
http://mathworld.wol...nPrinciple.html
Cho $A_{i}$ là những tập hợp hữu hạn phần tử
$$\left|\bigcup_{i=1}^N A_i\right|= \sum_{1\leq k \leq N}|A_k| - \sum_{1\leq i_1 < i_2 \leq N} |A_{i_1}\cap A_{i_2}|+ \cdots +(-1)^{N-1}|A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_N|$$
Trong đó $\Large\left|X\right|$ là số các phần tử của tập hợp $\Large X$.
Nguyên lí này rất hay được dùng trong những bài toán đếm:
http://mathworld.wol...nPrinciple.html
- bangbang1412 likes this
#2971 Một chút về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen
Posted by
on 07-01-2005 - 00:12
Một chút về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen:
Đây là kiến thức rất hay được dùng. Đặc biệt là trong việc chứng minh những bất đẳng thức có tính chất đối xứng.
Bác admin nào cho top bài này hộ em nhé. Em sẽ post dài dài khi có thời gian
1. Định nghĩa hàm lồi (một biến): Một hàm số f được gọi là lồi trên tập K =(a,B)( hay [a,b], (a,b], [a,B), [a,b], trong đó a, b có thể là vô cùng) nếu với mọi $ x_1, x_2\in K, 0\leq \lambda \leq 1$ ta có
$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
Hàm f được gọi là lồi nghiêm ngặt(?) nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi $\lambda = 0$.
2. Định nghĩa: Hàm f được gọi là lõm nếu -f lồi
Ví dụ về hàm lồi: $ x^2, |x|, e^x$. Các bạn tự kiểm chứng.
3. Chứng minh rằng nếu hàm f có đạo hàm cấp II không âm( dương) mọi nơi trên K thì f lồi( nghiêm ngặt) trên K.
Mình bỏ qua chứng minh, các bạn có thể tìm lại chứng minh qua xấp xỉ Taylor sau:
$\large f(x) = f(x_0) + f'(x)(x-x_0)+\dfrac{f''(x^{*})}{2}(x-x_0)^2$
4. Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm f lồi trên K, thì với mọi $ x_i \in K, p_i \in [0,1], \sum_{i=0}^k p_i = 1$ ta có:
$\sum p_i f(x_i) \geq f\left(\sum p_i x_i\right)$
Có thể chứng minh quy nạp theo k.
Bất đẳng thức trên đúng với k = 2. Giả sử nó đúng với k-1. Ta chứng minh với k, bất đẳng thức cũng đúng. Đặt $\large p_i^{'} = p_i/(1-p_k)$
$\large \sum\limits_{i=1}^k p_i f(x_i) = p_k f(x_k) + (1-p_k) \sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'} f(x_i) \geq p_k f(x_k) + (1-p_k) f(\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i) \geq f\left(p_kx_k + (1-p_k)\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i\right) = f\left(\sum\limits_{i=1}^k p_i x_i\right)$
5. Hàm lồi 2 và nhiều biến ( đang viết)
6. Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen( đang viết)
Đây là kiến thức rất hay được dùng. Đặc biệt là trong việc chứng minh những bất đẳng thức có tính chất đối xứng.
Bác admin nào cho top bài này hộ em nhé. Em sẽ post dài dài khi có thời gian
1. Định nghĩa hàm lồi (một biến): Một hàm số f được gọi là lồi trên tập K =(a,B)( hay [a,b], (a,b], [a,B), [a,b], trong đó a, b có thể là vô cùng) nếu với mọi $ x_1, x_2\in K, 0\leq \lambda \leq 1$ ta có
$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
Hàm f được gọi là lồi nghiêm ngặt(?) nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi $\lambda = 0$.
2. Định nghĩa: Hàm f được gọi là lõm nếu -f lồi
Ví dụ về hàm lồi: $ x^2, |x|, e^x$. Các bạn tự kiểm chứng.
3. Chứng minh rằng nếu hàm f có đạo hàm cấp II không âm( dương) mọi nơi trên K thì f lồi( nghiêm ngặt) trên K.
Mình bỏ qua chứng minh, các bạn có thể tìm lại chứng minh qua xấp xỉ Taylor sau:
$\large f(x) = f(x_0) + f'(x)(x-x_0)+\dfrac{f''(x^{*})}{2}(x-x_0)^2$
4. Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm f lồi trên K, thì với mọi $ x_i \in K, p_i \in [0,1], \sum_{i=0}^k p_i = 1$ ta có:
$\sum p_i f(x_i) \geq f\left(\sum p_i x_i\right)$
Có thể chứng minh quy nạp theo k.
Bất đẳng thức trên đúng với k = 2. Giả sử nó đúng với k-1. Ta chứng minh với k, bất đẳng thức cũng đúng. Đặt $\large p_i^{'} = p_i/(1-p_k)$
$\large \sum\limits_{i=1}^k p_i f(x_i) = p_k f(x_k) + (1-p_k) \sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'} f(x_i) \geq p_k f(x_k) + (1-p_k) f(\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i) \geq f\left(p_kx_k + (1-p_k)\sum\limits_{i=1}^{k-1}p_i^{'}x_i\right) = f\left(\sum\limits_{i=1}^k p_i x_i\right)$
5. Hàm lồi 2 và nhiều biến ( đang viết)
6. Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen( đang viết)
- bachmahoangtu_bn and iloveyouproht like this
