Đến nội dung

habcy12345

habcy12345

Đăng ký: 20-12-2023
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

Trong chủ đề: Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất để $x^{3}-k(x+1...

18-02-2024 - 11:56

Bằng thử trực tiếp, ta thấy $k \in \{3;1\}$ thì có 2 nghiệm phân biệt

Hình như $k=1, k=3$ cũng không thoả thì phải. Do bài này của THCS nên không cần dùng Viète cho pt b3 đâu. Mình xin trình bày cách khác:
Phương trình ban đầu tương đương với $(x+1)(x^2-x+1-k)=0$.
Do phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt nên phương trình $x^2-x+1-k=0$ phải có nghiệm kép khác $-1$.
$\Rightarrow\begin{cases}
(-1)^2-(-1)+1-k\ne 0\\
\Delta =1-4(1-k)=0
\end{cases}\Leftrightarrow k=\frac{3}{4}$ (vô lí).

Trong chủ đề: $2^{n}\mid 3_{n}-1$

14-02-2024 - 16:21

Nếu $n$ lẻ thì $v_2(3^n-1)=v_2(3-1)=v_2(2)=1$. Mà $2^n\mid 3^n-1$ nên $v_2(3^n-1)\geq v_2(2^n)$, tức là $n\leq 1\Rightarrow n=1$.
Nếu $n$ chẵn thì $v_2(3^n-1)=v_2(3-1)+v_2(3+1)+v_2(n)-1=v_2(n)+2$. Mà $2^n\mid 3^n-1$ nên $v_2(3^n-1)\geq v_2(2^n)$, tức là $v_2(n)\geq n-2$.
Suy ra $n=2^{n-2}.k$ ($k\in\mathbb{N^*}$). Tới đây có thể quy nạp để chỉ ra rằng $n>4$ thì $2^{n-2}.k>n\Rightarrow n\leq 4\Rightarrow n\in\{2,4\}$. Thử lại đều thấy thoả.


Trong chủ đề: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho: $n+S(n)+S\left [ S(n)...

14-02-2024 - 12:46

Bài này chắc chỉ có cách chặn $n$ thôi:
Dễ thấy $n\leq 59\Rightarrow S(n)\leq 5+9=14\Rightarrow S[S(n)]\leq 9$
Nên $S(n)+S[S(n)]\leq 23\Rightarrow n\geq 37\Rightarrow 37\leq n\leq 59$
Mà $n, S(n), S[S(n)]$ có cùng số dư khi chia cho $9$ nên $n$ chia $3$ dư $2$ (do $60\equiv 6$ (mod $9$))
$\Rightarrow n\in\{38,41,44,47,50,53,56,59\}$. Đến đây thử lại lấy $n\in\{44,47,50\}$

Trong chủ đề: Bài 4 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

14-02-2024 - 12:07

Ta chứng minh $3x^2+2y^2\geq 2(x^2-y^2+2xy)\Leftrightarrow (x-2y)^2\geq 0$ (đúng)
Do đó $3x^2+2y^2\geq 2.5=10$
Dấu "$=$" xảy ra khi $(x,y)=(2\sqrt{\frac{5}{7}},\sqrt{\frac{5}{7}}); (-2\sqrt{\frac{5}{7}}, -\sqrt{\frac{5}{7}})$
Vậy giá trị nhỏ nhất là $10$

 

Nhận xét: Lời giải chính xác, ngắn gọn
Điểm: 10/10


Trong chủ đề: $n \mid (n-1)!$

12-02-2024 - 20:42

Rõ ràng $n$ không thể là số nguyên tố (dùng định lí Wilson).
Thử $n=1$ thấy thỏa. Xét $n$ là hợp số:
TH1: $n$ là bình phương của một số nguyên tố:
Thử với $n=4$ thì không thỏa, xét $n>4$, đặt $n=k^2$ $(k\in\mathbb{N}, k>2)$.
Khi này $(n-1)!=1.2...k...(k^2-1)$. Vậy ta cần chỉ ra rằng trong các số từ $k+1$ đến $k^2-1$ có một số là bội $k$ là đủ, ta nhận ra ngay số đó là $2k$, bởi nó là bội của $k$, đồng thời $2k>k+1$ và $2k<k^2-1$.
TH2: $n$ không là bình phương của một số nguyên tố:
Khi này ta có thể đặt $n=ab$ $(a,b\in\mathbb{N}, 2\leq a<b)$.
Suy ra $(n-1)!=(ab-1)!=1.2...a...b...(ab-1)\vdots ab=n$.
Vậy $n=1$ hoặc $n$ là bất kì hợp số nào lớn hơn $4$ là giá trị cần tìm.