tuan101293

Bạn có thể tham khảo tại đây

http://en.wikipedia....square_identity

Thực tế bài toán là kết quả trực tiếp của đly lagrange ( mọi số nguyên dương đều là tổng của 4 số chính phương)

Bài này ghép ghép vui phết

Nhân 2 vế với 9  và dùng bdt svac 

ta có $$\frac{9ab}{a+4b+2c+2d} \le \frac{ab}{a+2c} + \frac{2ab}{2b+d}$$

         $$\frac{9bc}{b+4c+2d+2a} \le \frac{2bc}{a+2c} +\frac{bc}{b+2d}$$

         $$\frac{9cd}{c+4d+2a+2b} \le \frac{2cd}{b+2d} +\frac{cd}{c+2a}$$

         $$\frac{9da}{d+4a+2b+2c} \le \frac{2da}{2a+c} +\frac{da}{d+2b}$$

Cộng dọc ta có $$9LHS \le a+b+c+d = 3$$

q,e,d

Bạn ko hiểu chỗ nào ???

Lời giải bài 2: 

Ký hiệu P(x,y) là thay (x,y) vào đề bài: 

P(0,0) ta có $f(2) = 4$ 

P(0,y) ta có $ f(f(2y)) = f(2y) + 2$, từ biểu thức này thay liên tục y = 1,2,3,.... ta có $f(2n) = 2n+2$ với n dương bằng quy nạp

P(2k,-k) ta có $f(2k+2) = f(4k) +f(-2k) $ thay k =1,2,... ta tìm được nốt $f(2m) = 2m+2$ với m âm

hay ta luôn có $f(2n) = 2n+2$ với mọi n thuộc Z

Tiếp theo ta chứng minh

Nếu $a = b (mod 2)$ và $f(a) = f(b) $ thì $a = b$ (*)

Thật vậy, nếu $a = b( mod 2) $ và $f(a)  = f(b)$ ta có x,y,z nguyên  mà $x+2y = a, x+2z = b$

P(x,y) ta có $f(x+f(a)) = f(2x) +f(2y) = 2x+2y+4  $  (1)

P(x,z) ta có $f(x+f(b)) = f(2x) + f(2z) = 2x+2z+4$    (2) 

(1),(2) suy ra $y=z$ hay $a=b$ nên (*) đúng

Bây h ta tính f(1) 

TH1: f(1) lẻ, suy ra f(1)+1 chẵn và từ P(1,0) suy ra $f(1+f(1)) = 6 = f(4)$, theo (*) ta có $f(1) +1 =4$ hay f(1) = 3

TH2: f(1) chẵn hay $f(1) =2k$

P(-2k+1,k) ta có $f(-2k+1+ 2k) = -2k +6$ hay $f(1) = -2k+6$ suy ra $4k =6$ vô lý

hay f(1) =3

Cách tính f(2n+1) hoàn toàn tương tự

Tổng quát là $f(2m+1) = 2k$ thì thay P(2m-2k+1,k) cũng thấy vô lý.

Tóm lại f(x) = x+2

Ps: bài này mệt phết nhỉ @@

viet lại pt $\sqrt[3]{x-9}+(x-9) = (x-3) + (x-3)^3$

nếu ta đặt $f(x) = x^3 + x$ (f là hàm tăng) ta có $f(\sqrt[3]{x-9}) = f(x-3)$

hay $\sqrt[3]{x-9} = x-3$, mũ 3 lên phân tích ta có x=1 và $x= 4+- i\sqrt{2}$

Bài 2:

$f(f(n-1)) \ge 1 $ suy ra $f(n+1)\ge f(n)+1$ hay f là hàm tăng và $f(n)\ge n$

$f(n+1) =f(n) +f(f(n-1)) \ge f(n)+f(n-1) \ge 2n-1$ (1)

$f(f(n-1))< f(n+1)$ suy ra $f(n-1)<n+1$ hay $f(n)\le n+1$ với mọi n (2)

(1), (2) suy ra vô lý