tranquocluat_ht

Cho trước k>0, hãy tìm $x \in R$ để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất

$P=\cos x(\sin x+\sqrt{\sin^2x+k})$

Bài toán: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $P$ là một điểm trên tiếp tuyến của $(O)$ tại $B \; (P \ne B)$. Đường thẳng $AP$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $O$. Đường thẳng $DP$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E$. Chứng minh rằng $AE,BC,PO$ đồng quy.

Lời giải 1: (Định lý Ceva - Bộ GD&ĐT)

Lời giải 2: (PP Tọa độ)

Không mất tính tổng quát giả sử $R=1$. Gắn cho nó hệ $Oxy$ mà $B=(0;0); O=(1;0); A=(2;0); P(0;p)$.
+) Viết phương trình $PA$, lấy giao với $(O)$ được:

$C=(\dfrac{2p^2}{p^2+4};\dfrac{4p}{p^2+4})$

+) Trung điểm của $CD$ là $O$ nên:

$D=(\dfrac{8}{p^2+4};\dfrac{-4p}{p^2+4})$

+) Viết được phương trình của $BC$ và $OP$ lấy giao được:

$I=(\dfrac{p^2}{p^2+4};\dfrac{2p}{p^2+2})$

+) Viết được phương trình của $AI$ và $DP$ lấy giao được:

$J=(\dfrac{8p^2}{p^4+12p^2+16};\dfrac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16})$

+) Nhận ra:

$x_J^2+y_J^2=\dfrac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16}=2x_J$

Do vậy $J \in (O)$.
Từ đó câu a được chứng minh xong.
Lời giải 3: (Định lý ceva dạng sin của bạn binhdt_lvt)

Ta có:
$x=\dfrac{sin\widehat{CAE}}{sin\widehat{EAB}} = \dfrac{CE}{BE}$
$y=\dfrac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{CBP}} = \dfrac{AC}{BC}$
$z=\dfrac{sin\widehat{OPB}}{sin\widehat{OPA}} = \dfrac{AB}{BC}$
$\Rightarrow xyz=\dfrac{CE.AB}{BE.PC}$
Mà $CE.AB=BE.PC$$ ( $do $\widehat{CPE}=\widehat{EAB}$ $)$
Vì vậy theo Định lí Ceva dạng sin ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 4: (PP Tọa độ, không rõ nguồn)

Dễ thấy $\vec{AM},\vec{AE}$ cùng phương nên $A,M,E$ thẳng hàng, đpcm.

Lời giải 5: (Định lý Pascan)

Xét lục giác $ABBCDE$ có:

$\begin{align}
& AB\cap CD=O \\
& BB\cap DE=P \\
& BC\cap AE=I \\
\end{align}$

Do vậy $O,P,I$ thẳng hàng, suy ra đpcm.
Lời giải 6: (trục đẳng phương_shinomoriaoshi)

Ta có $\hat{OAE}=\hat{APE}$ và $\hat{OBC}=\hat{CPB}$. Do đó:
$PO$ là trục đẳng phương của $(PAE)$ và $(PBC)$.
Mặt khác
$BC$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(PBC)$
$AE$ là trục đẳng phương của $(PAE)$ và $(O)$
Vậy $PO, BC, AE$ đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn trên, đpcm.

PS: Mong các bạn cho ý kiến bổ sung.

OK! Thi OLP các trường đều nước đến khu ôm bù mà nhảy cả:-)!
Mình đại diện Đại học Vinh thân yêu!
Các bạn vảo điểm danh và trao đổi tài liệu nhé!

m là cựu cầu thủ 2009 không hiểu do tâm lý hay sao mà sỉ tử thè lưỡi cả chứ m lại thấy đề năm nay dễ làm hơn đề năm ngoái!
Thực tế bài 1 nó khá gần với bài hệ Luyện Thi ĐH: Ý tưởng tách x, y độc lập đưa pt2 về A=0. cộng với pt1 với $\varepsilon A $ đưa về $(x^2+ \alpha x+ \beta )^2=...$ đồng nhất hệ số được $ \beta =2$ hoặc $ \beta =4$. Mình nghĩa ôn thi ĐH cho kỹ thì bài này ngon lành.
Bài 2 m chưa xem nhưng Tìm thì chắc ai cũng quy nạp được.
Bài 3 có vẻ khó vì giả thiết rối, m sơ cấp hóa Điều Hòa như bài hình năm ngoái.
Bài 4 dễ hơn năm ngoái trông thấy! Bài 5 m bó tay vì tư duy tổ hợp không có.
Ps: PHAMVIETHOANG cùng đội năm ngoái mà m không biết nhỉ:-

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
$$ \dfrac{a}{b+c^2} + \dfrac{b}{c+a^2}+ \dfrac{c}{a+b^2} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c} $$