Đến nội dung


Hình ảnh

$ \dfrac{a}{b+c^2} + \dfrac{b}{c+a^2}+ \dfrac{c}{a+b^2} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 06-04-2008 - 19:28

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
$$ \dfrac{a}{b+c^2} + \dfrac{b}{c+a^2}+ \dfrac{c}{a+b^2} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-11-2012 - 01:42


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-11-2012 - 12:24

Tôi hơi bị kém khoản BĐT, nhưng cũng muốn bon chen một chút :)

Mọi người xem có thể chứng minh BĐT này không?

$\dfrac{2a-b-c}{b+c^2}+\dfrac{2b-a-c}{c+a^2}+\dfrac{2c-a-b}{a+b^2} \ge 0\quad(1)$

Vì nếu $(1)$ đúng thì:

$3VT=3\left(\dfrac{a}{b+c^2}+\dfrac{b}{c+a^2}+\dfrac{c}{a+b^2}\right) \ge (a+b+c)\left(\dfrac{1}{a+b^2}+\dfrac{1}{b+c^2}+\dfrac{1}{c+a^2}\right) \ge \dfrac{9(a+b+c)}{a+b+c+a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9(a+b+c)}{a+b+c+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3VP$


Em nghĩ bất đẳng thức thầy nêu có vấn đề rồi ạ :wacko: ..Nó chính là áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ mà hình như 2 bộ $a,b,c$ và $\dfrac{1}{a+b^2},\dfrac{1}{b+c^2},\dfrac{1}{c+a^2}$ có đơn điệu cùng chiều đâu ạ @@~
Về bài toán này mình xin được trình bày 1 lời giải mà mình đã sưu tầm được (Cũng khá lâu rồi...)
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\left(\sum \frac{a}{b+c^2}\right).\left[\sum a(b+c^2)(2a+2b+c)^2\right] \geq \left[2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)\right]^2$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\left[2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)\right]^2.(3+a+b+c)\geq 9.\sum a(b+c^2)(2a+2b+c)^2$$
Và ta nhận thấy bất đẳng thức trên chỉ là hệ quả của 2 bất đẳng thức "con con" sau:
$$\left[2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)\right]^2\geq 3.\sum ab(2a+2b+c)^2\,\,(1)$$
Và:
$$\left[2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)\right]^2(a+b+c)\geq 9\sum ac^2(2a+2b+c)^2\,\,(2)$$
$\bullet$ Đầu tiên ta sẽ chỉ ra bất đẳng thức $(1)$ là đúng:
Thật vậy do tính thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa ch0 $a+b+c=1$
Viết lại bất đẳng thức the0 ngôn ngữ $p,q,r$ :
$$(2-q)^2\geq 3(4q-11)$$
$$\Leftrightarrow 33r+4-16q+q^2\geq 0$$
Và điều này luôn đúng the0 bất đẳng thức $Schur$ và đánh giá $q\leq \frac{1}{3}$:
$$33r+4-16q+q^2\geq 33\frac{4q-1}{9}+4-16q+q^2=\frac{1}{3}(1-q)(1-3q)\geq 0$$
$\bullet$ Công việc còn lại là chỉ phải chỉ ra bất đẳng thức $(2)$ là đúng:
Nhận thấy bất đẳng thức này cũng mang tính thuần nhất,ta có thể chuẩn hóa $a+b+c=1$
Viết lại bất đẳng thức the0 ngôn ngữ $p,q,r$ ta có $VT =(2-q)^2$
Còn $VP=(1-q).(a^2b+b^2c+c^2a)-q^2+(1+q)r$.
Ta cần chứng minh:
$$(2-q)^2\geq 9\left[(1-q).(a^2b+b^2c+c^2a)-q^2+(1+q)r \right]$$
Và ta có bất đẳng thức quen thuộc $a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3-abc \Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}-r$
Sử dụng kết quả này thì chỉ cần chứng minh:
$$(2-q)^2\geq 9\left[(1-q).\left(\frac{4}{17}-r \right)-q^2+(1+q)r \right]$$
$$\Leftrightarrow 9(2-q)r+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}q-26q^2\geq 0$$
$*$ Nếu $q\leq \frac{1}{4}$.Lúc đó:
$$\frac{8}{3}-\frac{8}{3}q-26q^2\geq 0$$
$*$ Nếu $q\geq \frac{1}{4}$ thì $17q\geq 2$ và the0 $Schur$ ta có $r\geq \frac{4q-1}{9}$ nên:
$$9(2-q)r+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}q-26q^2\geq (2-q)(4q-1)+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}q-26q^2$$
$$=\frac{2}{3}(17q-2)(1-3q)\geq 0$$
Và hiển nhiên điều này đúng !
Kết thúc chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-04-2013 - 23:44

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-11-2012 - 12:59

$\dfrac{9(a+b+c)}{a+b+c+a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9(a+b+c)}{a+b+c+\frac{(a+b+c)^2}{3}}$

Đoạn này như ngược dấu rồi ạ :))
Bài toán này nếu ch0 $a+b+c=3$ thì ta sẽ nhận được 1 bất đẳng thức có ngoại hình khá đẹp (Mà có gai :P ):
$$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq \frac{3}{2}$$
Bất đẳng thức này đã được xử lý tại đây.
Do bài này anh Luật đăng vào phần THCS nên em nghĩ có lẽ còn có cách tiếp cận nó dễ dàng hơn chăng ?

________
[email protected] :P Tệ thật! :wacko:

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-11-2012 - 20:55

Chấm điểm:
WhjteShadow: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 14-04-2013 - 09:55

Đoạn này như ngược dấu rồi ạ :))
Bài toán này nếu ch0 $a+b+c=3$ thì ta sẽ nhận được 1 bất đẳng thức có ngoại hình khá đẹp (Mà có gai :P ):
$$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq \frac{3}{2}$$
Bất đẳng thức này đã được xử lý tại đây.
Do bài này anh Luật đăng vào phần THCS nên em nghĩ có lẽ còn có cách tiếp cận nó dễ dàng hơn chăng ?

________
[email protected] :P Tệ thật! :wacko:

Ở đây ta có thể phát triển bài toán:

Cho a,b,c >0 thõa mãn a+b+c=3. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#6 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 15-04-2013 - 03:39

Ở đây ta có thể phát triển bài toán:

Cho a,b,c >0 thõa mãn a+b+c=3. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Nhưng lúc đó bài toán lại quá đơn giản,không còn khó tiêu như ban đầu của nó,không biết thầy Luật còn cách nào ngắn gọn hơn chăng


TLongHV





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh