quantum-cohomology
Tìm kiếm
Bí mật
EGA SGA GAGA
24-11-2006 - 09:18
Nhớ là hồi trước có bác nào mở cái topic về EGA rồi cơ mà nhỉ? Lục lọi mãi không thấy thôi thì mở thêm cái topic, đằng nào số lượng topic của bên box hinh hoc topo cũng chỉ bằng 1/3 so với bên giải tích. Mấy bộ EGA SGA GAGA đều có trên mạng, ta chỉ thảo luận ở đây àla Grothendieck (cái này chắc gãi đúng chỗ ngứa của bác Cellist). Ngoài ra tôi thấy 2 cuốn general theory of fibre spaces with sheaf structures và local cohomology cũng rất đáng nên xem (có lẽ đó là 2 cuốn tiếng anh duy nhất). Diễn đàn có bác nào kinh nghiệm với mấy cái GAGA SGA FGA EGA này thì vào đây giúp đỡ đi. Theo như program của Grothendieck có lẽ chúng ta nên bắt đầu với geometric galois theory, also discuss )
cũng như )
. Có lẽ câu hỏi ngớ ngẩn của tôi đầu tiên là, mấy cái nhóm Galois này "trông" như thế nào?
Giả thuyết Riemann
20-08-2006 - 20:27
Mình tìm thấy 1 bài giới thiệu về giả thuyết Riemann hay hay phù hợp cho các bạn học sinh phổ thông muốn giới thiệu với các bạn, giành cho những bạn yêu thích số học và hình học.
Được biết đến với cái tên bài toán thiên niên, kỷ giải thuyết Riemann xuất hiện từ những năm thế kỷ 19 liên quan đến câu hỏi cơ bản của số học thuần túy mà hiện nay đang trở thành 1 trong những bất ngờ lớn nhất của toán học vì sự liên ngành của nó. Câu hỏi ban đầu được đặt ra là sự phân bố các số nguyên tố trên tập các số tự nhiên, tuy nhiên lại liên quan mật thiết đến rất nhiều ngành toán học lý thuyết hiện đại ví dụ như hình học đại số, hình học số học, lý thuyết sác xuất cũng như các ngành vật lý lý thuyết hiện đại như hệ động lực lượng tử, lý thuyết hỗn độn lượng tử... Chúng ta hãy bắt đầu với những kiến thức quen thuộc của học sinh phổ thông, ký hiệu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?s vậy thì ta có 1 số kết quả sau đã được biết: Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối và địa phương đều nếu phần thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma biểu thị cho hàm gamma. Euler đã chứng minh công thức sau, 1 công thức đóng vai trò quan trọng số 1 trong việc kết nối hàm zeta Riemann với số học:
Đối với http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.
Có thể nhận thấy = \infty)
, xem như 1 hệ quả của định lý cơ bản thứ 2 của số học: Tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Chính vì sự vô hạn của số nguyên tố cho nên người ta cố gắng tính xem mật độ phân bố của số nguyên tố trên số tự nhiên. Ta đưa vào khái niệm hàm số số nguyên tố như sau, đối với 1 số thực 
gọi  )
là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x, điều này có nghĩa  = )
#
. 1 trong những định lý cơ bản của số nguyên tố nói rằng khi 
thì ta có sự xấp xỉ gần đúng  \approx \dfrac {x} {log x})
hoặc thậm chí ta có thể làm mạnh sự xấp xỉ này hơn thông qua hàm  = \Bigint_2^{\infty} \dfrac {dt} {log t } \approx \pi ( x ) )
. Để chứng minh điều này các bạn phổ thông có thể tìm đọc cuốn Introduction to analytic and probabilistic number theory của Gérald Tenenbaum (tuy nhiên mình không chắc là chứng minh trong cuốn đó được đưa ra cho dạng xấp xỉ mạnh hay chỉ cho dạng tầm thường), 1 cuốn có thể nói là elementar, không yêu cầu các kiến thức cao cấp khác như Hình học đại số hay topo... Định lý này thực chất đã được Gauß tiên đoán từ lâu, nhưng mãi sau này mới được Hadamard và Poussin chứng minh hoàn thiện. Vào khoảng năm 1949 thì Selberg và Erdös tìm được chứng minh sơ cấp cho định lý nói trên, chứng minh này đúng theo nghĩa sơ cấp, hoàn toàn không dùng kiến thức giải tích phức hay lý thuyết hàm.
Theo như định lý trên thì hàm số số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng  = Li ( x ) + R(x))
trong đó  )
được hiểu là phần dư và } {Li ( x )} = 0)
. Riemann tiên đoán rằng nếu x tiến tới vô cùng thì  = O ( \sqrt{x} log x ))
. 1 cách phát biểu tương tự cho giả thuyết này ( original ) của Riemann đó là: Tất cả các không điểm không tầm thường của hàm  )
nằm trên đường thẳng  = 1 / 2 \})
. Giả thuyết này được Riemann phát biểu trong bài báo "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" tại bài báo cáo hàng tháng tại Berlin Akademie vào tháng 11 năm 1859.
Giả thuyết này của Riemann sau này được Artin và Weil tổng quát hóa cho các đa tạp đại số trên 1 trường hữu hạn bất kỳ.
Bạn nào thông thạo tiếng đức có thể xem tại đây:
http://www.mathemati...r...ormula PDF"
Nếu ai quan tâm tới lãnh vực này và muốn tìm hiểu sâu thì có lẽ bài báo đáng đọc là của Connes, người đã và đang phát triển bộ môn hình học không giao hoán, 1 công cụ cực mạnh, tương lai cho phép nhìn nhận toàn bộ lý thuyết hàm zeta cũng như hình học đại số dưới quan điểm của hệ động lực lượng tử, lý thuyết chaos lượng tử... (là những lý thuyết xuất phát từ vật lý).
Được biết đến với cái tên bài toán thiên niên, kỷ giải thuyết Riemann xuất hiện từ những năm thế kỷ 19 liên quan đến câu hỏi cơ bản của số học thuần túy mà hiện nay đang trở thành 1 trong những bất ngờ lớn nhất của toán học vì sự liên ngành của nó. Câu hỏi ban đầu được đặt ra là sự phân bố các số nguyên tố trên tập các số tự nhiên, tuy nhiên lại liên quan mật thiết đến rất nhiều ngành toán học lý thuyết hiện đại ví dụ như hình học đại số, hình học số học, lý thuyết sác xuất cũng như các ngành vật lý lý thuyết hiện đại như hệ động lực lượng tử, lý thuyết hỗn độn lượng tử... Chúng ta hãy bắt đầu với những kiến thức quen thuộc của học sinh phổ thông, ký hiệu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?s vậy thì ta có 1 số kết quả sau đã được biết: Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối và địa phương đều nếu phần thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma biểu thị cho hàm gamma. Euler đã chứng minh công thức sau, 1 công thức đóng vai trò quan trọng số 1 trong việc kết nối hàm zeta Riemann với số học:
Đối với http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.
Có thể nhận thấy
Theo như định lý trên thì hàm số số nguyên tố
Giả thuyết này của Riemann sau này được Artin và Weil tổng quát hóa cho các đa tạp đại số trên 1 trường hữu hạn bất kỳ.
Bạn nào thông thạo tiếng đức có thể xem tại đây:
http://www.mathemati...r...ormula PDF"
Nếu ai quan tâm tới lãnh vực này và muốn tìm hiểu sâu thì có lẽ bài báo đáng đọc là của Connes, người đã và đang phát triển bộ môn hình học không giao hoán, 1 công cụ cực mạnh, tương lai cho phép nhìn nhận toàn bộ lý thuyết hàm zeta cũng như hình học đại số dưới quan điểm của hệ động lực lượng tử, lý thuyết chaos lượng tử... (là những lý thuyết xuất phát từ vật lý).
Local Cohomology
01-07-2006 - 17:44
Hi all, mình có 1 vấn đề nho nhỏ về đối đồng điều địa phương mong mọi người góp ý. Mình chỉ biết có 1 cuốn về đối đồng điều địa phương để tham khảo là cuốn Local cohomology (an algebraic introduction with geometric applications) của Brodmann và Sharp, còn cuốn của Grothendieck (Hartshone tóm tắt lại) thì bị mượn hết rồi.
Trong Weibel cuốn An Introduction to homological algebra có trình bầy về local cohomology (từ trang 115 đến 119)
Cách xây dựng đối đồng điều địa phương thứ nhất thì có thể hiểu như là 1 hàm tử dẫn xuất phải (right derived functor) của torsion functor (hàm tử xoắn) with respect to 1 ideal nào đó (trong Brodmann thì xét vành Noetherian giao hoán với non-trivial ideal) còn trong Weibel thì xét vành giao hoán với ideal hữu hạn sinh.
1 cách xây dựng khác được đưa ra bởi Serre [EGA, III.1.1] thông qua Koszul complex, cái này mình chưa hiểu cụ thể lắm. Mình sẽ post lần lượt các câu hỏi lên đây mong mọi người giúp đỡ.
Thứ nhất: tác giả Weibel có nhắc tới tower ) \})
, mình không hiểu thuật ngữ tower (tháp) muốn ám chỉ điều gì.
Thuật ngữ này cũng xuất hiện tương tự trong mục 3.5.6 về điều kiện Mittag-Leffler (điều kiện này nghe tên có vẻ như xuất hiện trong giải tích phức quá, nhưng không biết có liên quan gì tới nhau không? ):
"1 tháp (tower) của các nhóm abel......" không hiểu tháp các nhóm abel nghĩa là gì?
Ps: Xin lỗi định nghĩa tháp các nhóm abel có ngay ở trang trước mở đầu mục Derived Functor of the inverse Limit.
Tuy nhiên làm sao để chỉ ra được là 1 tháp nhỉ? Lấy đâu ra inclusion?
Trong Weibel cuốn An Introduction to homological algebra có trình bầy về local cohomology (từ trang 115 đến 119)
Cách xây dựng đối đồng điều địa phương thứ nhất thì có thể hiểu như là 1 hàm tử dẫn xuất phải (right derived functor) của torsion functor (hàm tử xoắn) with respect to 1 ideal nào đó (trong Brodmann thì xét vành Noetherian giao hoán với non-trivial ideal) còn trong Weibel thì xét vành giao hoán với ideal hữu hạn sinh.
1 cách xây dựng khác được đưa ra bởi Serre [EGA, III.1.1] thông qua Koszul complex, cái này mình chưa hiểu cụ thể lắm. Mình sẽ post lần lượt các câu hỏi lên đây mong mọi người giúp đỡ.
Thứ nhất: tác giả Weibel có nhắc tới tower
Thuật ngữ này cũng xuất hiện tương tự trong mục 3.5.6 về điều kiện Mittag-Leffler (điều kiện này nghe tên có vẻ như xuất hiện trong giải tích phức quá, nhưng không biết có liên quan gì tới nhau không? ):
"1 tháp (tower) của các nhóm abel......" không hiểu tháp các nhóm abel nghĩa là gì?
Ps: Xin lỗi định nghĩa tháp các nhóm abel có ngay ở trang trước mở đầu mục Derived Functor of the inverse Limit.
Tuy nhiên làm sao để chỉ ra được
Topo dai so
20-06-2006 - 05:20
Something on (Co)bordism (wat i've known)
An SO-Structure on a manifold can be regarded as an orientation of its normal bundle. We can expand this example by successiveley killing homotopy groups. Recall that the homotopy groups of O are as follow (Bott peridiocity)
and that 
for positive i while 
. More precisely the fibration 
give an interesting tower of G-Structure and corresponding Thom spectra 
Futher examples of (co)bordism are:
Complex bordism
Symplectic bordism
Symmetric bordism
Braid bordism
An SO-Structure on a manifold can be regarded as an orientation of its normal bundle. We can expand this example by successiveley killing homotopy groups. Recall that the homotopy groups of O are as follow (Bott peridiocity)
Futher examples of (co)bordism are:
