hbt

toan hoc chưa kiểm tra tính khớp của dãy 0 -> F(M) -> F(N) -> F(P) -> 0 tại F(N).
Sự chẻ ra chỉ suy ra khi dãy đó là khớp tại F(N), nếu dãy đó chưa khớp thì chỉ suy ra được ImF(f) và KerF(g) là hạng tử trực tiếp của F(N) thôi.

Ở đây, mình đã kiểm tra lại rồi, bài tập này rốt cuộc là đúng, dựa trên một mệnh đề là hàm tử cộng tính thì khớp phải. Chính vì vậy, khớp tại F(N) và suy luận chẻ ra như toan hoc đã nói.

2 mọi người và anh noproof. Lâu rồi không lên lại diễn đàn, thật là nhớ.
Hôm trước trên lớp hbt có một bài tập nhỏ về hàm tử mà hbt nghĩ là đề nhầm nhưng cũng không chắc lắm. Bữa nay pót lên nhờ mọi người cùng xem. Vì nó chỉ là một bài tập nhỏ nên mở riêng ra một topic thì thật là phí, vì vậy mượn tạm chỗ của futurus xin bạn thông cảm.

Bài tập : Cho F là một hàm tử thuận biến tuyến tính từ phạm trù các R-module vào chính nó (R là một vành giao hoán). CMR F biến mọi dãy khớp chẻ ra
f g
0->M->N->P->0 thành dãy khớp chẻ ra.

(Dãy 0->M->N->P->0 được gọi là khớp chẻ ra (exact and splitting) nếu nó khớp và có Imf = Kerg là một hạng tử trực tiếp của N).

hbt nghĩ là chưa chắc qua F dãy được tạo thành chưa hẳn đã khớp mà chỉ nửa khớp.

Anh Cánh diều ơi, bài này anh có cách giải nào không?

Xét ideal I=(ab-cd) trong vành đa thức K[a,b,c,d] với K là một trường. Hãy chứng minh rằng I là một ideal nguyên tố.

PS: Ah, hình như anh đang ở USA làm PH.D và tên anh là T. hả? hbt khâm phục anh thật.

hbt đã nghĩ ra lời giải cho bài toán 3. Nó khá thú vị, có lẽ khó có cách nào khác (mình chỉ đoán thế thôi!).
Lời giải đó xin được tóm tắt dưới đây:

Ta chỉ việc chứng minh bài toán với x<>0, tại x=0 có thể dùng tính liên tục.
Chọn xi là các điểm theo thứ tự tăng dần trong [-1,1] sao cho Cn(xi)=(-1)^(n-i), trong đó Cn(x) là đa thức Chebyshev bậc n. Nội suy Lagrange của đa thức f(x) tại các điểm xi ta có:

f(x) = sum(i=0 .. n, f(xi). product(j<>i, [x-xj]/[xi-xj]))
Lại để ý rằng (với x<>0) ta có

(Af)(x)=x^n.f(1/x) Từ đó suy ra

|(Af)(x)| = |sum(i=0 .. n, f(xi). product(j<>i, [1-x.xj]/[xi-xj]))|
<= sum(i=0..n, |f(xi)|.|product(j<>i, [1-x.xj]/[xi-xj])|)
<= sum(i=0..n, (-1)^i.product(j<>i, [1-x.xj]/[xi-xj]))
=|x^n.Cn(1/x)|
<=1.2^(n-1) và ta có ĐPCM.

(BĐT cuối cùng là theo tính chất của đa thức Chebyshev Cn(x)).

Anh Canhdieu ơi, anh xem hộ hbt câu (b) của bài toán sau với:

Cho (R,M) là một vành địa phương. CMR:

a) Nếu có một ideal nguyên tố I khác với M thì M^(n+1) là con thực sự của M^n với mọi n.
b) Nếu tồn tại một ideal I có radical rad(I) khác M thì I+M^(n+1) là con thực sự của I+M^n với mọi n.

hbt đang bí câu (b). Em nghĩ là câu (a) là để gợi ý cho câu (b) nhưng nghĩ chưa ra.

(Có nhận xét là câu (a) có thể làm chặt hơn thay vì I là ideal nguyên tố khác M thì chỉ cần giả sử rằng tồn tại một ideal I có radical rad(I) khác với M là đủ).