Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:
- Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.
$1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.
=> $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.
=> A là hợp số.
- Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.
=> đpcm.
Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.
47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.
49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.
48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
$a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$=0. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.
47)
Xét k lẻ thì k có dạng 2n+ 1 nên 2k +3k =4n .2+9n .3 đồng dư với 2 (mod 3)
nên 2k +3k ko là số chính phương khi k lẻ
Xét k chẵn thì khi chia 4 luôn có dạng 4n hoặc 4n+2
với k=4n thì 2k +3k =16n +81n có tận cùng bằng 6+1=7 nên 2k +3k ko là số chính phương trong trường hợp này
với k=4n+2 thì 2k +3k =16n .4+81n .9 có tận cùng bằng 3 nê 2k +3k ko là số chính phương trong trường hợp này
- Vậy ko tồn tại k nguyên dương để 2k +3k là số chính phương
P/S: mình ko biết letex toán học, sorry ae