nguyendangkhanh

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

•  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$=0. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

47)

Xét k lẻ thì k có dạng 2n+ 1 nên 2^k +3^k =4ⁿ .2+9ⁿ .3 đồng dư với 2 (mod 3)

nên 2^k +3^k  ko là số chính phương khi k lẻ

Xét k chẵn thì khi chia 4 luôn có dạng 4n hoặc 4n+2

với k=4n thì 2^k +3^k =16ⁿ +81ⁿ có tận cùng bằng 6+1=7 nên 2^k +3^k ko là số chính phương trong trường hợp này

với k=4n+2 thì 2^k +3^k =16ⁿ .4+81ⁿ .9 có tận cùng bằng 3 nê 2^k +3^k ko là số chính phương trong trường hợp này

- Vậy ko  tồn tại k nguyên dương để 2^k +3^k là số chính phương

P/S: mình ko biết letex toán học, sorry ae

 Bài 12 Tìm bộ ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^q +q^p=r$

vì p và q là số chính phương nên cả 2 số đều lớn hơn hoặc bằng 2

=> r >= 4 tức là >2 mà r là số nguyên tố nên r là số lẻ

- Vì r lẻ nên p,q ko cùng tính chẵn lẻ mà 2 số đó đều nguyên tố nên có 1 số bằng 2

Giả sử p =2 và q lẻ thì 2^q +q² =r

Vì q² chính phương nên q² đồng dư với 0 hoặc 1 (mod3)

Loại q² đồng dư với 1 vì nếu vậy thì 2^q đồng dư với -1(mod 3) vì q lẻ

từ đó suy ra r =3( vô lý vì r>=4 chứng minh trên)

vậy thì q² đồng dư với 0(mod3) nên q chia hết cho 3 mà q nguyên tố nên q=3 nên r=17

- Vậy bộ ba số cần tìm là 2,3,17

P/S: xin lỗi, thật ra cách làm của mình ngắn gọn lắm, nhìn dài là vì mình vừa tham gia nhóm nên chưa biết đánh mấy cái công thức toán học như mấy bạn khác chứ nếu ko thì ngắn lắm