cvp

Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình:
$1998x^{2}-(20a-11)x-1998=0$
tìm giá trị nhỏ nhất của:
$F=\dfrac{3}{2}(x_{1}-x_{2})^{2}+2(\dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}+\dfrac{1}{x_{1}}-\dfrac{1}{x_{2}})^{2}$.

chứng minh rằng trong $12$ số nguyên tố phân biệt luôn chọn ra được $6$ số ,gọi là $a_{1};a_{2};a_{3}...;a_{6}$ sao cho :
$(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})(a_{5}+a_{6})\vdots 1800$

Tìm các bộ số nguyên $\left ( a,b,c,d \right )$ thỏa mãn hệ sau:
$\begin{cases} ac-3bd=4 \\ ad+bc=3 \end{cases}$

$a,b,c\in \mathbb{Z};F(x)=ax^{2}+bx+c.$
CMR $F(2010); F(2011)\in \mathbb{Z}$ lẻ thì PT $ax^{2}+bx+c$ vô nghiệm $\in$ $\mathbb{Z}$ lẻ

$2x^{2}y^{4}+2y^{4}+y^{2}+5x+2y=5xy^{4}+2x^{2}+1$

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < t < 4\\
{t^3} - 6{t^2} - 48 = 0\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
tai sao suy ra dc vay anh!

Giải
$$\sqrt{\dfrac{6}{2-x}}+\sqrt{\dfrac{10}{3-x}}=4$$

Cho 3 số thực dương thoả mãn :

$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}$$
CM: $$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}$$


Mod: bạn vui lòng xem cách gõ công thức mới của diễn đàn ở đây
http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63178

Tiếp tục bài này:
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$
Chứng minh rằng: $a+b+c\ge 2+abc$

Mình đóng góp bài nè:
Bài 14: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{b(5a+b)}+\dfrac{1}{c(5b+c)}+\dfrac{1}{a(5c+a)}\ge \dfrac{1}{2}$

Bài 13 Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=1$.Ch/m:
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge \ 3+\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{c^2}}$

Dùng giả thiết $ab+bc+ca=1$
BĐT $<=>3+\dfrac{c(a+b)}{ab}+\dfrac{b(c+a)}{ca}+\dfrac{a(b+c)}{bc} \ge 3+\dfrac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\dfrac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}+\dfrac{\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}$
Chứng minh $\dfrac{c(a+b)}{ab}+\dfrac{b(c+a)}{ca}+\dfrac{a(b+c)}{bc}\ge \dfrac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\dfrac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}+\dfrac{\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}$
Đến đây dùng AM-GM: $\dfrac{c(a+b)}{ab}+\dfrac{b(c+a)}{ca}\ge 2\dfrac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}$
Tương tự => đpcm
Dấu = khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Làm bài 8:
Trước hết cm
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$
bình phương lên là đc
sau đó công 3 bđt đc đpcm
dấu = khi $a=b=c$

Giúp mình bài này luôn nhé:
Cho a; b là các số thực dương thoả mãn a + b = 1.Chứng minh rằng:

1/ab +1/(a^2+b^2) >=6

...............................

Try one's best!

$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{(a+b)^2}{ab}+\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$
$=3+\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+[\dfrac{a^2+b^2}{2ab}+\dfrac{2ab}{a^2+b^2}]$
$\ge 3+1+2=6$
=> đpcm dấu = khi $a=b=\dfrac{1}{2}$