nntien

Bài tổ quen thuộc nè Có thể thấy biểu thức đã cho tương đương với $(x+1)(y+1)(z+1) - 1$.

Do đó xét tích sau \[P = \prod\limits_{x \in A}^{} {\left( {x + 1} \right)} \]

Với $A$ là tập các số ban đầu. Mỗi lần thay 3 số $x,y,z$ bằng biểu thức đã cho thì $P$ không đổi. Do đó cho đến khi còn 1 số $p$ duy nhất thì $P=p+1=2021$, tức $2020$.

以不变应万变!

Bài 5:

a, Ta có HC//DB

=> $\angle ACF = \angle ABD = \angle AND = \angle ANF $

=> AFCN nội tiếp

=> $\angle FAC = \angle FNC$

=> $\angle EAB = \angle DNC$

Mà $\angle EAB = \angle DNE$ (gt) 

=> $\angle DNC = \angle DNE$

=> đpcm

b, Gọi I là trung điểm của AC, F' là điểm giao điểm của DI và AE, CF' cắt AD tại H'

Vẽ hình bình hành CLAF'

Ta có : $\frac{H'F'}{CF'}=\frac{H'A}{CA}$ (tính chất phân giác)

=> $\frac{H'F'}{AL}=\frac{H'A}{CA}$

Mà $\frac{H'F'}{AL}=\frac{H'D}{AD}$ (Thales)

=> $\frac{H'D}{AD}=\frac{H'A}{CA}$

Ta lại có: AD=CB (gt)

=> $\frac{H'D}{CB}=\frac{H'A}{CA}$

=> $CH'//DB$ mà $DB \bot AD $

=> $CH' \bot AD $

=> đpcm

Bài 1, nhanh nhất chắc là thay phương trình đầu vào pt 2 ta được: $8y = 4+4x-x^2$

sau đó thế vào pt 1 được phương trình bậc 4. Sau đó nhờ Casio trợ giúp rồi ép nhân tử, ta tìm ra các nghiệm:

(-2; -1) (2;1) (10/3; 7/9) (10; -7)

Bài hình câu c.

Ta có: $cos \alpha = \frac{OB}{OA}$ và $cos \alpha = \frac{OH}{OB}$

=> $cos^2 \alpha = \frac{OH}{OA}$

Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Ta dễ chứng minh OK//H'B (vì OM là đường trung bình của tam giác H'HB)

=> $\frac{OH'}{OA}=\frac{KB}{KA}$ (Thales)

=> $\frac{OH}{OA}=\frac{KB}{KA}$

=> đpcm

Cho M nằm ngoài (O) và hai tiếp tuyến ME, MF; 
cát tuyến MBA nằm giữa ME, MO (MB<MA); cát tuyến MCD nằm giữa MF, MO (MC < MD). T là giao điểm AC, BD.
Chứng minh E, T, F thằng hàng.

 

Xin lỗi mọi người vì em không biết up hình 

Còn nữa: giả sử BC cắt AD tại U. CM: T,U,F.E thẳng hàng

Sử dụng lí thuyết cực và đối cực nhé!