hieuchuoi@

Đề thi Tuyển sinh Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
Năm học 2007-2008. Môn thi: Toán vòng II

Bài 1 (2 điểm)
1. Gọi a là nghiệm của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$. Không giải phương trình, tính $A=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2$

2. Tìm a,b hữu tỉ thỏa mãn: $\dfrac{3}{a+b\sqrt{3}}-\dfrac{2}{a-b\sqrt{3}}=7\20\sqrt{3}$

Câu 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left{\begin{(x^2+1)(y^2+1)+8xy=0}\\{\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{-1}{4}}$

Câu 3 (2,5 điểm)
1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2-ab=c^2$.
Chứng minh rằng phương trình $x^2-2x+(a-c)(b-c)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
2. Cho phương trình $x^2-x+p=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ dương. Xác định $p$ để $x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$. 2 đường cao $BD,CE$ cắt nhau ở $H$. $I$ là trung điểm $BC$. 2 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BEI$ và $CDI$ cắt nhau ở $K$ (khác $I$)
1. Chứng minh $\hat{BDK}=\hat{CEK}$
2. $DE$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $M,H,K$ thẳng hàng.
3. Chứng minh rằng tứ giác $BKDM$ nội tiếp.

Câu 5 (1 điểm)
Cho 19 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm trong một lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có ít nhất 1 góc không vượt quá $45^\circ$ và nằm trong nột đường tròn có bán kính nhỏ hơn $\dfrac{3}{5}$

Hôm nay em vào diễn đàn bằng domain này thì nó hiện ra trang quảng cáo? Hình như diễn đàn mình quên chưa thanh toán chi phí

Chào các bạn.
Mình thấy box đề thi - đáp án của chúng ta khá phong phú, tuy nhiên hơi lộn xộn. Vì vậy xin các bạn hãy thực hiện các quy định sau - khi gửi bài trong box.
1. Về việc đặt tên topic
Các bạn cần đặt tên topic theo cấu trúc
Tựa đề cho chủ đề: {Tên đề thi} {dành cho lớp mấy?} {tỉnh/thành}
Chú thích cho chủ đề: {năm học}
Ví dụ:
Đề thi HSG lớp 7 quận Ba Đình - Hà Nội
Năm học 2005-2006
Đề thi HSG cấp trường lớp 8 trường THCS Lê Quý Đôn - Hải Dương
Năm học 2006-2007
2. Về việc tìm đề thi
Các bạn không nên post các topic "tìm đề thi..." trong box này, vì đã có 1 chủ đề riêng cho các bạn để tìm đề thi. Chủ đề đó đã được đặt chú ý, các bạn có thể thấy dễ dàng khi vào box.

Tạm thời có mấy điều lưu ý như vậy. Mong các bạn nghiêm túc thực hiện, sẽ giúp cho các thành viên khác dễ dàng tìm đề thi, cũng như để box Đề thi - Đáp án THCS xanh - sạch - đẹp hơn

Các bất đẳng thức chưa có lời giải tại box BDT THCS

Dưới đây là những BDT trong box THCS chưa có ai post lời giải. Để giải các bài toán, các bạn hãy click vào số thứ tự của bài (vd Bài 1, bài 8...) để tới topic chứa bài toán đó. Không post lời giải trực tiếp tại đây. Bài toán nào đã được giải sẽ được đánh dấu màu xanh.
Bài 1. Giả sử a,b,c là các số thực lớn hơn 1 thỏa:
$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{i}^{2}-1}=1$.Chứng minh rằng:
$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{i}+1}\leq 1$
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương n xét các tổng
$P_{n} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} + ... + \sqrt[n]{n}$
và $Q_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n}$
Bài 3. Cho $x,y,z>-1$ T/m:
$x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$.
CMR:$x^{5} + y^{5} + z^{5} \geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$. :
Bài 4. Cho $a^4+b^4+c^4=3 (a,b,c>0)$CMR:
$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \leq 1$
Bài 5. Cho $a,b,c >0$
T̀ìm min $S=30a+3b^2+ \dfrac{2c^3}{9} +36( \dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{1}{ac})$
Bài 6. Cho 3 số a,b,c dương.Cmr:
$abc(a+b+c)^{3}+(a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 4(ab+bc+ca)^{3}$
Bài 7. Cho k là số nguyên dương thỏa mãn:
$\Large (2000^{2001}^{2002}+2002^{2001}^{2000}) \vdots 2001^k$
Chứng minh rằng $k \leq 2001$
Bài 8. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$
CMR : $\dfrac{xy}{ \sqrt{xy+yz} } +\dfrac{yz}{ \sqrt{yz+zx} } + \dfrac{zx}{ \sqrt{zx+xy} } \leq \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$
Bài 9. Cho $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng:
$(a+1)^2(3b^2+3c^2+abc)\ge 4(6+a)$
Bài 10. Cho $\Large a_1,a_2,...,a_n \in R$ thỏa mãn $\Large a_1 \geq 1, |a_k-a_{k+1}|<1 \forall k=\bar{1,n-1}$. Chứng minh rằng:
$\Large \dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+...+\dfrac{a_n}{a_1} < 2n-1$
Bài 11. Cho n số dương có tích bằng 1 chứng minh rằng :
$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_{1}+n-1} \leq 1$
Bài 12. Chứng minh BDT sau với m,n là hằng dương và $5n \geq m$ (a,b,c>0)
$ \sum \dfrac{a}{\sqrt{mb^2+mc^2-na^2}} \geq \dfrac{3}{\sqrt{2m-n}}$
Bài 13. Tìm GTNN của $P=((x+1) ^2+(y-1) ^2) ^0,5+((x-1) ^2+(y+1) ^2)^0,5+((x+2)^0,5+(y+2))^0,5$
Bài 14. CMR:Với mọi a,b,c
$| \dfrac{a^3-b^3}{a+b} + \dfrac{b^3-c^3}{b+c} + \dfrac{c^3-a^3}{c+a} | \leq \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4} $
Bài 15. Cho phương trình:$x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx +1=0 $ có nghiệm thực
Chứng minh: $|a|+|b|+|c| \geq \dfrac{4}{3} $
Bài 16. $a_1,a_2,\ldots,a_n>1$ thỏa mãn $|a_{k+1}-a_k|<1$ với $k=1,2,\ldots,n-1$. Chứng minh:
$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1}<2n-1$
Bài 17. Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng t�ồn tại một hoán vị $\(a,b,c\)$ của $\({x,y,z\}$ thỏa mãn:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}>\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}$
Bài 18. Chứng minh rằng với m,n nguyên dương thì $ | \sqrt{2005}n-m| > \dfrac{1}{90n} $
Bài 19. Cho a,b,c>0,a+b+c=1.CM:
$ \dfrac{1}{a+bc+3abc}$ \leq $\dfrac{2}{ab+bc+ca+abc}$
Bài 20. Cho $a,b,c \geq 0,a+b+c=1,n \geq 2$.Tìm max của:
P= $ \dfrac{(ab)^n}{1-ab}$
Bài 21. cho $x,y,z>0$.Cho $A=\sum \dfrac{xy}{(x+y)^2}.$, $B=\sum \dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}.$
Chứng minh rằng: $4A+8B \leq9$.
Bài 22. Cho a>c,b>d CM $(a+b+c+d)^2>8(ad+bc)$
Bài 23. Cho a,b,c,d phân biệt thỏa mãn $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$. và ac=bd
Tìm max $S=\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}$
Bài 24. Cho x,y dương thỏa $x^3+y^3=x-y$, chứng minh $x^2+y^2<1$
Bài 25. C/m bất đẳng thức sau: $x^(a+b+c) +y^(a+b+c) +z^(a+b+c) \geq (x^a)(y^b)(z^c)+(x^b)(y^c)(z^a) +(x^c)(y^a)(z^b)$ biết x,y,z>0 và a,b,c cùng dấu
Bài 26. CMR: nếu pt $a x^{4}+ b x^{3}+c x^{2}+dx+e=0 $ có nghiệm
với a,b,c,d,e là các số thực khác 0; a,c,e>0 thì:
$\large \dfrac{b^{2}}{ac}+\dfrac{d^{2}}{ce} \geq \4$
Bài 27. CMR: $ n^{n+3} + (n+1)^{n+3} \leq (n+2)^{n+3}$
Bài 28. Cho ba số nguyên dương a,b,c thỏa mãn :
$\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{17}{4}$
Tìm min:
$\dfrac{ a^{3}}{ b^{3}} +\dfrac{ b^{3}}{ c^{3}} +\dfrac{ c^{3}}{a^{3}}$
Bài 29. Cho x;y;z dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy} \leq \dfrac{3}{2}$
Bài 30. Cho $a >0$Tìm MAX của :
$\dfrac{36a-2}{(3a+4)^{6}} $
]Bài 31. Tìm GTNN của $\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}$ với $a^2+b^2+c^2=3$
Bài 32. $a,b,c,x,y,z\in{R}$ tm $\sum{a}.\sum{x}=3$ và $\sum{a^2}.\sum{x^2}=4$
Bài 33. Cho $x, y \geq 1$ CM: $x^y + y^x \geq 1$
Bài 34. $a,b,c,x,y,z\in{R}$ tm $\sum{a}.\sum{x}=3$ và $\sum{a^2}.\sum{x^2}=4$ CMR $ax+by+cz \geq 0$
Bài 35. Cho a,b,c là 3 số dương.Cm:
$\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Các bác ơi, vào đây: http://chaoxuan2007.vtv.vn/ , nhìn xuống dưới, click chọn anh Hùng IMO nhà ta nhá rồi điền thông tin rồi bình chọn nhá, cố gắng cho dân Toán nở mặt chứ nhỉ (cũng hơi tiếc là bác Mạnh nhà em lại ko có ở đó )