Darij Grinberg

Chú ý: $(x+y)^{7}-(x^{7}+y^{7})=7xy(x+y)(x^{2}+y^{2}+xy)^{2}$

Chém 2 bài chơi cái đã
1)
Cho a,b,c>0. a+b+c=3. CMR:
a. $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a} \geq 4$
b. $\dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-ab} \leq \dfrac{3}{8}$

Có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=(a^{3}+ab^{2})+(b^{3}+bc^{2})+(c^{3}+ca^{2}) \geq 2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a$
Do đó: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+a^{2}b+b^{2}.c+c^{2}a \geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Đặt $t=a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$ thì $ab+bc+ca=\dfrac{9-t}{2}$
Do đó: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a} \geq t+\dfrac{9-t}{2t}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{9}{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2} \geq 3+3/2-1/2=4$

b. Ta có: $ab \leq (\dfrac{a+b}{2})^{2}=(\dfrac{3-c}{2})^{2} \Rightarrow \dfrac{1}{9-ab} \leq \dfrac{4}{-c^{2}+6c+27}$
TT mấy cái còn lại.
Lại có: $\dfrac{4}{-c^{2}+6c+27}-\dfrac{9-x}{64}=\dfrac{(x-1)^{2}(x-13)}{64(-x^{2}+6x+27} \leq0 $ với mọi x thuộc (0;3)
TT mấy cái kia rồi cộng lại là xong