PTH_Thái Hà

Câu bất phương trình kết quả của mấy bạn đúng nhưng cách làm thì dài lắm, xét 2 trường hợp, mỗi trường hợp lại có điều kiện riêng.
Mình chuyển (x+1) sang vế phải, xét trường hợp vế phải âm và dương rồi bình phương mới chính xác
Bài BĐT thế z rồi đưa về biến xy cũng ra, điều kiện của xy tìm cũng dễ hơn

ngu hình từ bé nên bài hình bỏ, bài số thì ko chém được, bài tổ hợp thì lí luận suông
rút cục chả làm được gì
ngày mai chắc cũng thế nốt

hình như có mỗi bạn ở Cần Thơ, ngày mai làm quen phát

Đề đội Delta khó quá, đề nghị cung cấp đáp án để ALPHA mở rộng tầm mắt

Một phản ví dụ cho Câu 3 của Delta
lấy $a=b=3,c=4$

$ \Rightarrow f\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3xy + 4{y^2}$ xét với x,y nguyên
$D = 3 \Rightarrow 2\sqrt {\frac{D}{3}} = 2$
ta sẽ chứng minh không tồn tại $x,y$ nguyên để $\left| {f\left( {x,y} \right)} \right| \ge 2$
nếu có 1 trong 2 số $x,y$ bằng 0 thì số kia phải có trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 1

$f\left( {x,0} \right) \ge 3;f\left( {0,y} \right) \ge 4$
không thỏa mãn
vậy $xy \ne 0 \Rightarrow \left| x \right| \ge 1;\left| y \right| \ge 1;$
nếu $x,y$ cùng dấu
dễ thấy không thỏa mãn
vậy x,y khác dấu
giả sử x dương, y âm
Xét $g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} - 3xy + 4{y^2}$

$ \Rightarrow \mathop {f\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y < 0} = \mathop {g\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y > 0} $


$x \ge y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3x\left( {x - y} \right) + 4{y^2} \ge 4 > 2$

$ \Rightarrow x < y$ (1)


$x \le \frac{4}{3}y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3y\left( {\frac{4}{3}y - x} \right) \ge 3$

$ \Rightarrow x > \frac{4}{3}y$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn
vậy không tồn tại x,y nguyên thỏa mãn

PTH_Thái Hà giải tiếp bài 5 của Delta
Nhờ anh E.Galois đọc lời giải rồi up hình hỗ trợ


Đáng tiếc là đề của Delta là sai
Thật vậy, ta lấy một phản ví dụ:
Xét hình thang cân $ABCD$ có 2 đáy là $Ab$ và $CD$, đường chéo cắt nhau tại M
 h1.PNG   23.77K   160 Số lần tải

Khi đó dễ thấy $MP \bot CD$
Gọi $QM \cap AD = H$
Mặt khác, nếu lấy hình thang thỏa mãn $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} > {90^0}$ thì ta có:
$Q$ là trung điểm $BC$
$ \Rightarrow Q \in \left[ {BC} \right] \Rightarrow \widehat{QMC} < \widehat{BMC} \Leftrightarrow \widehat{AMH} < \widehat{AMD}$

Vậy xét trên nửa mặt phẳng bờ là $AM$ thì tia $MH$ nằm giữa 2 tia $MA$ và $MD$
$ \Rightarrow \widehat{DHM} = \widehat{DAM} + \widehat{HMA} > \widehat{DAM} > {90^0}$

Vậy bài toán sai

Ta có thể sửa lại như sau

Cho tứ giác $ABCD$ khác hình thang cân nội tiếp đường tròn. M là giao 2 đường chéo, P,Q là trung điểm AB,BC. Khi đó $PM \bot CD \Leftrightarrow QM \bot AD$
 h2.PNG   27.32K   163 Số lần tải
Lời giải:
Giả sử tứ giác $ABCD$ định hướng âm
$\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat{MCD}$

$\left( {\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \left( {\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \widehat{MDC}$

Vậy: $MP \bot CD$
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {DC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.CD.\cos \widehat{MCD} - MB.CD.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.\cos \widehat{MCD} - MB.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.MC.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MB.MD.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MD.\cos \widehat{MCD} = MC.\cos \widehat{MDC}$
$ \Leftrightarrow \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

Theo định lí $sin$ trong tam giác $MCD$
$ \Rightarrow \frac{{\sin \widehat{MCD}}}{{\sin \widehat{MDC}}} = \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

$ \Leftrightarrow \sin 2\widehat{MCD} = \sin 2\widehat{MDC}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \widehat{MCD} = \widehat{MDC} \\ \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \\ \end{array} \right.$

Trường hợp $\widehat{MCD} = \widehat{MDC}$ sẽ suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy $MP \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \Leftrightarrow \widehat{CMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Hoàn toàn tương tự ta cũng có
$MQ \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MAD} = {90^0} - \widehat{MDA} \Leftrightarrow \widehat{AMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Bài toán được giải quyết hoàn toàn

@ PSW : 7/7 - đỉnh của đỉnh