craft_man

Mình cũng chưa nghĩ
Mấy lần nghĩ bài sai đề, mất bao nhiêu thời gian mà ko ra cái gì cả nên phải khẳng định đề đúng mới nghĩ, đỡ mất thời gian

mình nghĩ mãi không ra
bạn làm giúp nhá
sáng mai mình cần rồi
cảm ơn bạn đã quan tâm

Đề như thế này à?

chính xác
bạn có làm được không

${(\dfrac{a}{b+c})}^k+{ (\dfrac{b}{c+a})}^k+{ (\dfrac{c}{a+b})}^k>=min{(2, \dfrac{3}{2^k})} (1)$
Với $k=\dfrac{ln3}{ln2}-1 $
Chuẩn hóa $ a+b+c=1 , b \geq c \geq a .$
Đặt $ t=\dfrac{b+c}{2},m=\dfrac{b-c}{2} => b=t+m,c=t-m,a=1-2t $
$ (1) <=> f(m)=(\dfrac{1-2t}{2t})^k+(\dfrac{1+m}{1-t-m})^k+(\dfrac{t-m}{1+m-t})^k \geq 2 ,$
$ k=\dfrac{ln3}{ln2}-1 $

Do $ c \geq a $ nên $ 3t-1 \geq m \geq 0$ và $ 1 \geq b+c=2t => \dfrac{1}{2} \geq t \geq \dfrac{1}{3}.$
Ta có
$ f'(m)=\dfrac{k(1+m)^{k-1}}{(1-t-m)^{k+1}}-\dfrac{k(1-m)^{k-1}}{(1+m-t)^{k+1}} \geq 0 $

$<=> \dfrac{k(t+m)^{k-1}}{(1-t-m)^{k+1}} \geq \dfrac{k(t-m)^{k-1}}{(1+m-t)^{k+1}} $
đến đây xài thêm tí đạo hàm nữa, đánh giá tiếp để suy ra f(m) là hàm đồng biến .
$ f(m) \geq f(0)=(\dfrac{1-2t}{2t})^k+2(\dfrac{t}{1-t})^k $
F(0) biểu diễn là hàm 1 biến t như trên suy ra được
$ 2^{k+1}t^{2k} \leq [(1-t)(1-2t)]^{k-1} $ Với $ t \in [0,\dfrac{1}{3}]$
Dễ thấy hàm bên trái đồng biến, bên phải nghịch biến nên chỉ cần chứng minh
$ 2^{k+1}(\dfrac{1}{3})^{2k} \leq [(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{2}{3})]^{k-1} $
Suy ra $ h(t) \geq h(\dfrac{1}{3})=2 $
Bất Đẳng thức được chứng minh.

cảm ơn bạn
nhưng mình muốn hỏi
vì sao không cần chứng minh trong trường hợp k khác ln3/ln2 -1 ?

anh hùng hoặc ai khác chỉ giùm cách chứng minh theorem 1,2,3 với
gợi ý cũng được

ai tìm giúp mình với