Want?

Câu 1:
Cho $x_n=\underbrace{\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}}_{n lần} $ . Tìm giới hạn $\lim\limits_{n\to\infty}{6^n(2-x_n)}$.
Câu 2:
Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\forall x_0\in \mathbb{R}$, tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=g(x_0)$. Liệu hàm $g(x)$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ không?
Câu 3:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(2x+1)=f(x)+5x \forall x \in \mathbb{R}$.
Câu 4:
Cho $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ và khả vi hai lần trên $(0;1)$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=0$ và $\min\limits_{x\in [0;1]}{f(x)} = -1 $. Chứng minh rằng $\max\limits_{x\in [0,1]}{f''(x)}\geq 8$.
Câu 5:
Cho hàm $f$ khả vi và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng:
$|f(\frac{1}{2})|\leq \int\limits_{0}^{1}{|f(x)|dx}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{|f'(x)|dx}$
Câu 6:
Cho $f(x)$ khả vi hai lần trên đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (0,1)$ sao cho
$\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(0)+\frac{1}{2}f'(0)+\frac{1}{6}f''( c )$.

Bài này bạn có thể thay trực tiếp $(x,y)\to(0,0)$ vào vì Đa thức đã xác định tại điểm này

Xét phương trình $f(x)=0\Leftrightarrow (x^2-x+3)^2+3=0 \Leftrightarrow (x^2-x+3-\sqrt{3}i)(x^2-x+3+\sqrt{3}i)=0$
Phương trình sẽ có bốn nghiệm là $\left[ \begin{array}{l} x_1=\sqrt{3}i+1\\x_2=-\sqrt{3}i\\x_3=\sqrt{3}i\\x_4=-\sqrt{3}i+1\end{array}\right.$
Khi đó $f(x)=(x-\sqrt{3}i-1)(x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3}i-1)=(x^2-2x+4)(x^2+3)$ Đã xong

$\lim\limits_{x\to1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})$=
$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+x+1-3}{1-x^3}$=
$\lim\limits_{x\to1}\frac{x+2}{-x^2-x-1}$=-1

Không phải bạn không còn tình yêu toán học hay đam mê toán nữa mà theo mình nghĩ chỉ vì bạn luôn có tâm trạng "mình không đỗ trường chuyên" thế nên mất đi cảm giác yêu toán thôi. Hãy có gắng bỏ ý nghĩ đó đi để rồi lại yêu toán như xưa bạn nhé!!!
Thân.

Chém thử nào
$(1)\Leftrightarrow x-\cos{x}=y-\cos{y}$ Xét $f(t)=t-\cos{t}$ có $f'(t)=1+\sin{t} \geq 0 \forall t$
$\Rightarrow x=y$ thay vào dưới ta được $8x^3-24x-\sqrt{2011}=0$ giờ thì cứ áp dụng phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát thôi
Đặt $x=u+v$ khi đó phương trình trở thành
$8(u^3+v^3)-24(u+v)(uv-1)-\sqrt{2011}=0$
Ta chọn $u,v$ sao cho $uv=1$ hay $u,v$ thỏa mãn hệ
$\left\{\begin{array}{l}uv=1\\u^3+v^3=\dfrac{\sqrt{2011}}{8}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u^3v^3=1\\u^3+v^3=\dfrac{\sqrt{2011}}{8}\end{array}\right.$ khi đó $u^3,v^3$ là hai nghiệm của phương trình $X^2-\dfrac{\sqrt{2011}}{8}X+1=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u^3=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{1755}}{8}}{2}\\v^3=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2011}+\sqrt{1755}}{8}}{2}\end{array}\right.$ nên ta có
$x=\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{1755}}{16}}+\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{2011}+\sqrt{1755}}{16}}$
Xong! Các bạn xem sai chỗ nào nhé!!

Do bạn đã post lên phần toán cao cấp nên chúng ta sẽ giải theo toán cao cấp vậy
1 Áp dụng quy tắc Lopitan ta được
$\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$=$ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{100x^{99}-2}{50x^{49}-2}
$=$ \dfrac{100-2}{50-2} $=$\dfrac{49}{24}
2 Tiếp tục như trước nhưng đợt này ta sẽ áp dụng hai lần
=$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{nx^{n-1}-na^{n-1}}{2x-2a}$=$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{n(n-1)x^{n-2}}{2}$=$a^{n-2}.\dfrac{n(n-1)}{2}$

Có thể nói topic rất dược ưu ái nhỉ
mình xin đóng góp 1 bài
cho e-lip $(E)$: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ CMR tiếp tuyến với $(E)$ có pt $Ax+By+C=0$ thì A,B.C thỏa $A^2a^2+B^2b^2=C^2$.
Tiện cho mì hỏi luôn cách cm đổi đồ thị của Trần Phương có thực sự đúng k?