truclamyentu

Giải bằng phương pháp lượng giác.
Ta có : $\Delta =7$
$k = \frac{-18-2+27}{2 \sqrt{7^{3}}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$
Ta có $k<1$ nên pt có 3 nghiệm phân biệt:
$x_{1}= \frac{2\sqrt{7} cos( \frac{arccos \frac{\sqrt{7}}{14}}{3}) -1}{3}$

$x_{2}= \frac{2\sqrt{7} cos( \frac{arccos \frac{\sqrt{7}}{14}-2\pi}{3}) -1}{3}$

$x_{3}= \frac{2\sqrt{7} cos( \frac{arccos \frac{\sqrt{7}}{14}+2 \pi}{3}) -1}{3}$

Em giải cụ thể ra, đừng ''rập khuôn'' quá nhiều người sẽ không hiểu
Không phải ai cũng biết phương pháp này

Giải hệ :
$\large \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=3\\ x+y-\sqrt{x^2+y^2-\frac{3}{2}xy}=3 \end{matrix}\right.$

Giải bình thường thì ra pt bậc 4 ,3 nghiệm vô tỷ .Không biết có cách nào tối ưu hơn không ?!

Chúc mừng nhá ,mà anh biết trước thằng vương oy:D

NX của Trọng hoàn toàn đúng ,nhưng đã lỡ rồi em à .Nhưng mà mình nghĩ nếu cứ tiếp tục sẽ mất tính công bằng ,đề nghị bqt làm lại danh sách trên phù hợp hơn

Giờ lắm ảnh thật, tặng mọi người thêm bức hình này, đảm bảo không có đá mà nhém đâu !!!


P/s: Hì hì, trông hơi điêu !!!

Đây là cô giáo của em à

Được rồi mấy em ,anh thấy topic rất sôi động ,đây là em họ anh ,1m7 ,ai chưa có bạn gái thì liên lạc vs anh (trả phí nhá )

Không biết sao?

Ta có: \[{u_n} = \sqrt {\frac{{n + 3}}{n}} - \sqrt[{2n}]{2} > - \sqrt[{2n}]{2} = {v_n}\,\,\,\,\left( {n \ge 1} \right)\]
Mặt khác: ${v_n} = - \sqrt[{2n}]{2}$ phân kì. Do đó chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sqrt {\frac{{n + 3}}{n}} - \sqrt[{2n}]{2}} \right)} $ phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 1.

Tiêu chuẩn so sánh trên chỉ đúng đối với chuỗi dương thôi ,đưa về chuỗi âm là không đúng

giải giúp mình với! gấp lắm mọi người giúp đỡ nha!
xét sự hội tụ của chuỗi
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sqrt {\frac{{n + 3}}{n}} - \sqrt[{2n}]{2}} \right)} \]

Xin lỗi mình đang bận học tí
Bài này bạn dùng công thức Talor nhé


$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sqrt {\frac{{n + 3}}{n}} - \sqrt[{2n}]{2}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)}^{\frac{1}{2}}} - {{\sqrt 2 }^{\frac{1}{n}}}} \right)}$
${\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{{{x^2}}}{4} + o({x^2}) \Rightarrow {\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{3}{{2n}} - \frac{9}{{4{n^2}}} + {o_1}(\frac{1}{{{n^2}}})$
${e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2}) \Rightarrow {\sqrt 2 ^{\frac{1}{n}}} = {\left( {{e^{\ln \sqrt 2 }}} \right)^{\frac{1}{n}}} = 1 + \frac{{\ln \sqrt 2 }}{n} + \frac{{{{\ln }^2}\sqrt 2 }}{{2{n^2}}} + {o_2}(\frac{1}{{{n^2}}})$

$n \to \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{o_1}(\frac{1}{{{n^2}}}) \to 0}\\
{{o_2}(\frac{1}{{{n^2}}}) \to 0}
\end{array}} \right.$


$\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)^{\frac{1}{2}}} - {\sqrt 2 ^{\frac{1}{n}}} \sim \left( {-\frac{9}{4} - \frac{{{{\ln }^2}\sqrt 2 }}{2}} \right)\frac{1}{{{n^2}}} + \left( {\frac{3}{2} - \ln \sqrt 2 } \right)\frac{1}{n}\\
= \frac{{\left( {-\frac{9}{4} - \frac{{{{\ln }^2}\sqrt 2 }}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{2} - \ln \sqrt 2 } \right)n}}{{{n^2}}} \sim \frac{{\frac{3}{2} - \ln \sqrt 2 }}{n}
\end{array}$
Vậy chuỗi đã cho phân kì

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 2x^2 y +2x^2 - y^2 - 2y= m \\ 2xy^2-x^2+4xy+2x+1=m \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2x^2(y+1)-(y+1)^2=m-1\\
2x(y+1)^2-x^2=m-1
\end{matrix}\right.$

Do đây là hệ đối xứng loại (2) nên hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $x=y+1$

Thay vào (1) ta được $2y^3+5y^2+4y+2=m$

Xét $f(y)=2y^3+5y^2+4y+2$

Ta có: $f'(y)=6y^2+10y+4$

Sau đó lập bbt.

Do hệ pt có nghiệm duy nhất nên pt $f(y)=m$ có nghiệm duy nhất.

Từ bbt, ta tìm được: $m\in (-\propto ;\frac{26}{27})\vee (1;+\propto )$

Bạn giải còn thiếu nhiều
Đặt z=y+1 khi đó hệ trở thành:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2}z - {z^2} = m - 1}\\
{2x{z^2} - {x^2} = m - 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2}z - {z^2} = m - 1}\\
{(x - z)(x + z + xz) = 0}
\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = z}\\
{2x{z^2} - {x^2} = m - 1}
\end{array}(1)} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + z + xz=0}\\
{2x{z^2} - {x^2} = m - 1}
\end{array}(2)} \right.}
\end{array}} \right.\]
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi :(1) có duy nhất nghiệm và (2) vô nghiệm ,hoặc (2) có duy nhất nghiệm và (1) vô nghiệm
Mà (1) luôn có nghiệm với mọi m (vì là phương trình bậc 3 )
Do vậy điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (1) có nghiệm duy nhất và (2) vô nghiệm
Bằng việc khảo sát hàm số suy ra (1) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi:
$m\in (-\propto ;\frac{26}{27})\vee (1;+\propto )$
Lấy m=0,5 thuộc miền trên thế vào (2) dễ dàng giải ra 1 nghiệm của (2) là (1;-0,5)
Vậy không tồn tại m để (2) vô nghiệm tức là cũng không tồn tai m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge \dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{c+a}+\dfrac{c+b}{a+b}$$
India 2002

Ta có :

\[\begin{array}{l}
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 1 - \frac{b}{a}} \right) + 3\\
= \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}} + \frac{{(c - a)(c - b)}}{{ac}} + 3
\end{array}\]
Tương tự ta có :
\[\frac{{a + c}}{{b + c}} + \frac{{c + b}}{{a + b}} + \frac{{b + a}}{{c + a}} = \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{(b + c)(a + c)}} + \frac{{(c - a)(c - b)}}{{(a + b)(c + a)}} + 3\]
Giả sử c=max{a,b,c} .Khi đó dễ dàng suy ra dpcm từ 2 đẳng thức trên

1. Cho $a ,b, c$ thoả $a + b + c = 0$. Chứng minh:

$\frac{1}{8^{a/2} + 8^{b/2} + 1} + \frac{1}{8^{c/2} + 8^{b/2} + 1} + \frac{1}{8^{a/2} + 8^{c/2} + 1} \leq 1$

2. Cho $a, b, c > 0$ thoả $a^2 + b^2 + c^2 = 12$. Tìm min của:

$P = \frac{1}{\sqrt{1 + a^3}} + \frac{1}{\sqrt{1 + b^3}} + \frac{1}{\sqrt{1 + c^3}}$

Bài 1 :
Đặt :$\left\{ \begin{array}{l}
{8^{a/2}} = x\\
{8^{b/2}} = y\\
{8^{c/2}} = z
\end{array} \right. \Rightarrow xyz = 1$
Vậy ta cần cm:
$\frac{1}{{x + y + 1}} + \frac{1}{{y + z + 1}} + \frac{1}{{z + x + 1}} \le 1$
Ta có :
$x + y + 1 = \left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)\left( {{{\sqrt[3]{x}}^2} - \sqrt[3]{{xy}} + {{\sqrt[3]{y}}^2}} \right) \ge \left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)\sqrt[3]{{xy}}$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{x + y + 1}} + \frac{1}{{y + z + 1}} + \frac{1}{{z + x + 1}}\\
\le \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)\sqrt[3]{{xy}} + \sqrt[3]{{xyz}}}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{yz}} + \sqrt[3]{{xyz}}}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{xz}} + \sqrt[3]{{xyz}}}}
\end{array}$

$\begin{array}{l}
= \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{xy}}}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{zy}}}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{xz}}}}\\
= \frac{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right)\sqrt[3]{{xyz}}}} = 1
\end{array}$

Đề sai thì phải. Cho tam giác đều vào không đúng.

Em thử nhầm rồi

Cho a,b,c>0 và a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 2$

Ta có :
$\sqrt {{a^3} + 1} = \sqrt {(a + 1)({a^2} - a + 1)} \le \frac{{a + 1 + {a^2} - a + 1}}{2} = \frac{{{a^2} + 2}}{2}$
nên:
$A \ge \frac{{2a}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{2b}}{{{c^2} + 2}} + \frac{{2c}}{{{a^2} + 2}}$
$ = \frac{{a({b^2} + 2) - a{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{b({c^2} + 2) - b{c^2}}}{{{c^2} + 2}} + \frac{{c({a^2} + 2) - c{a^2}}}{{{a^2} + 2}}$
$ = 6 - \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 2}} - \frac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 2}} - \frac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 2}} \ge 6 - \frac{{a{b^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{b^4}}}{2}}}}} - \frac{{b{c^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{c^4}}}{2}}}}} - \frac{{c{a^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{c^4}}}{2}}}}}$
$= 6 - \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{2{a^3}{b^2}}} + \sqrt[3]{{2{b^3}{c^2}}} + \sqrt[3]{{2{c^3}{a^2}}}} \right)$
$ = 6 - \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{2a.ab.ab}} + \sqrt[3]{{2b.bc.bc}} + \sqrt[3]{{2c.ca.ca}}} \right)$
$ \ge 6 - \frac{2}{9}\left( {a + b + c + ab + bc + ca} \right) \ge 6 - \frac{2}{9}\left( {6 + \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} \right) = 2$

Kém quá! Chẳng hiểu gì cả. Nhờ truclamyentu cho xin một lời giải tương đối hoàn chỉnh nhé.

---

Đây là cách giải trên THTT ,post để mọi người tham khảo (cách này quá chủ quan theo quan điểm của người ra đề :http://nm8.upanh.com...58.untitled.png

Mọi người giải quyết tận gốc rễ nhé, tức là làm tới khi ra đáp án luôn ý, như khi đi thi ý, để các mem khác học hỏi cách trình bày nữa

Bài toán:

Giải phương trình:

$4[3\sqrt{4x-x^2}\sin^2 \frac{x+y}{2}+2\cos (x+y)]=13+4\cos ^2 (x+y)$

Mod huynhmylinh đang có ''âm mưu '' gì mà post nhiều bài thế nhỉ ,còn yêu cấu không được spam ,phải làm tận gốc ,mem đành chấp hành thôi
Điều kiện : $ 0 \le x \le 4 $
Đặt :
${\sin ^2}\frac{{x + y}}{2} = a \Rightarrow 0 \le a \le 1$
Suy ra :
$\cos (x + y) = 1 - 2a;{\cos ^2}(x + y) = {\left( {1 - 2a} \right)^2}$
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
$4\left[ {3\sqrt {4x - {x^2}} .a + 2\left( {1 - 2a} \right)} \right] = 13 + 4{\left( {1 - 2a} \right)^2}$
Nếu a=0 thì từ phương trình suy ra : 8=17 (vô nghiệm )
Nếu a khác không thì phương trình trên tương đương với :
$3\sqrt {4x - {x^2}} = \frac{{\frac{{13 + 4{{\left( {1 - 2a} \right)}^2}}}{4} - 2\left( {1 - 2a} \right)}}{a}$
$ \Leftrightarrow 12\sqrt {4x - {x^2}} = \frac{{16{a^2} + 9}}{a}$
Ta có :
$\frac{{16{a^2} + 9}}{a} = 16a + \frac{9}{a} \ge 2\sqrt {16a.\frac{9}{a}} = 24$
Suy ra :
$12\sqrt {4x - {x^2}} \ge 24 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 2$
Thế x=2 vào phương trình trên ta được phương trình ẩn a:
$4\left[ {6a + 2\left( {1 - 2a} \right)} \right] = 13 + 4{\left( {1 - 2a} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow {\sin ^2}\frac{{2 + y}}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos (2 + y) = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{{2\pi }}{3} - 2 + k2\pi ,k \in Z$