Didier

đặt $t=\sqrt{8x^{2}-6x-10}$có hệ
$$\left\{ \begin{gathered} 4x^2 - 4x - 10 = 2t \\ 8t^2 - 6t - 10 = 4x \\ \end{gathered} \right.
$$
trừ 2 pt vế theo vế, ta có
$$ 4x^{2}-2x=4t^{2}-2t$$
xét $f(x)=4x^{2}-2x$
xét tính đồng biến nghịch biến của hàm là ra
ta có
$$ f(x)=f(t)\Leftrightarrow x=t \Leftrightarrow 2x=\sqrt{8x^{2}-6x-10}$$
giải ra là xong

$ P=2^{n}+7n^{2}\equiv -1+n^{2}(mod3)\equiv (n-1)(n+1)(mod3)$
TH$ n=2$ không tm
$ n=3$,P là số nguyên TH $n>3\Rightarrow P> 3\Rightarrow Pkhông chia hét cho 3\Rightarrow n=3k+1$
thay vô trên thấy$ P\vdots 3\forall n> 3$
vậy $ n =3$ là số nguyên tố duy nhất khiến p là số nguyên tố

sử dụng định lí sin ta có
$ \sum \frac{sinA}{sinB+sinC}=\sum \frac{a}{b+c}$
ta có $ \frac{a}{b+c}> \frac{a}{a+b+c}$
$ \frac{b}{a+c}> \frac{b}{a+b+c}$
$ \frac{c}{a+b}> \frac{c}{a+b+c}$
$ \Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}> 1$
tiếp theo ta có
$ b+c> a\Rightarrow \frac{a}{b+c}< 1$
tương tư ta có $ \frac{b}{a+c}< 1 và \frac{c}{a+b}< 1$
vì vây $ \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}$
$ \frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}$
$ \frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}$
$ \Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}< 2$
từ đó ta có
$ 1< \sum \frac{a}{b+c}< 2$
$ \Leftrightarrow \left [ \sum \frac{a}{b+c} \right ]=1$
$ \Rightarrow DCCM$
nếu chưa học định lí sin thì em nên đọc trước đi nhé hoặc có thể cm đc mà anh nhớ hồi đó cô giáo anh đã dạy rồi

cho hỏi đề c&amp;acirc;u 2 thế n&amp;agrave;o vậy
c&amp;acirc;u 4
đặt $ a=\sqrt{2}x$
$ b=\sqrt{2}y$
Ta có hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a + {b^2} + b + 4 = 0\\(a + 1)(b + 1) = 5\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a + {b^2} + b + 4 = 0\\ab + a + b = 4\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P + S = 0\\S + P = 4\end{array} \right.$

ta có $ \left | x \right |\leq 1 ,\left | y \right |\leq 1$
dặt $ x=sin \alpha (-\frac{\pi}{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2})$
$ y=sin \beta (-\frac{\pi}{2}\leq \beta \leq \frac{\pi}{2})$
hệ pt tương đương
$ sin\alpha cos\beta =\frac{3}{4}$
$ sin\beta cos\alpha =\frac{1}{4}$
cộng và trừ ta có hệ
$ sin(\alpha +\beta )=1$
$ sin(\alpha -\beta )=\frac{1}{2}$

sao tớ vào nó ko full cả màn hình mà cứ có viền đen

Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$

$ \sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}= \sqrt{4a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}}\geq \sqrt{4a^{2}+b^{2}+4ab}\geq 2a+b$
$\Rightarrow \sum \dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}\leq \sum \dfrac{1}{2a+b}=\sum \dfrac{1}{a+a+b}\leq \sum (\dfrac{(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})}{9})\leq \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq \sqrt{(\sum \dfrac{1}{a^{2}})\dfrac{1}{3}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 6: Cho $0 < \alpha < \beta < \sqrt 6 $. Chứng minh rằng: $\dfrac{{\sin \beta }}{{\sin \alpha }} > \dfrac{{\beta - \dfrac{{{\beta ^3}}}{6}}}{{\alpha - \dfrac{{{\alpha ^3}}}{6}}}$
Bài 7: Cho $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }},\,\,\,x > 0$. Chứng minh rằng: $x - \dfrac{{{x^2}}}{2} < f\left( x \right) < x,\,\,\forall x > 0$.

$ x-\dfrac{x^{2}}{2}< f(x)< x \forall x$
$ \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{2}> x (1-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}})> 0$
do $ x> 0$
dễ dàng cm
$ x (1-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}})> 0$
giờ chỉ cm
$ \dfrac{x^{2}}{2}> X (1-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}})$
$ \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \right ) > 1-\dfrac{x}{2}$
đặt
$ (1-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}})=g(x)$
$ \left (\dfrac{x}{2} \right )=h\left ( x\right )$

vậy$ g\left ( x\right ),h\left ( x\right )$liên tục trên$ [0,+\propto ) $
trên khoảng đó$ h\left ( x \right ) \neq 0$
áp dung Dl lagrange
$ \dfrac{g\left ( x \right )-g\left ( 0 \right )}{h\left ( x \right )-h\left ( 0 \right )}=\dfrac{g'\left ( m \right )}{h'\left ( m \right )}(m)\in (0,+\propto )$
$ \dfrac{g\left ( x \right )-g\left ( 0 \right )}{h\left ( x \right )-h\left ( 0 \right )}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}^{3}}}{\dfrac{1}{2}}< 1$
đpcm
mà bài này liẹu có thể cm bàng BĐT không

Bài 10: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}u{x^3} + v{y^3} = 14(4)\\u{x^2} + v{y^2} = 5(3)\\ux + vy = 2(2)\\u + v = 1(1)\end{array} \right.$

bài này thực chất là đề thi chọn đội tuyển phổ thông năng khiếu DHKHTN TP HCM
ta có $ u=1-v$
thay vào (2) ta đc
$ (1-v)x+vy=2 \Leftrightarrow x-v(x-y)=2 \Leftrightarrow -v(x-y)=2-x$
thay $ u=1-v$ vào (3) $ (1-v)x^{2}+vy^{2}=5 \Leftrightarrow x^{2}-v(x^{2}-y^{2})=5 \Leftrightarrow x^{2}-v(x-y)(x+y)=5 \Leftrightarrow 2(x+y)-xy=5$
(vì $ -v(x-y)=2-x$)
thay $ u=1-v$ vào (4) $ (1-v)x^{3}+vy^{3}=14 \Leftrightarrow x^{3}-v(x^{3}-y^{3})=14 \Leftrightarrow x^{3}-v(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}) \Leftrightarrow 2(x+y)^{2}-2xy-xy(x+y)=14 $
(vì $ -v(x-y)=2-x$)
đặt $ \left\{\begin{array}{l}x+y=a\\xy=b\end{array}\right. $
hệ tương đương
$ \left\{\begin{array}{l}2a-b=5\\2a^{2}-2b-ba=14\end{array}\right. $

Em xin giới thiệu tiếp 1 bài
Xét trên miền $D = \left\{ {\left( {x,y,z,t} \right):a\left( {x^2 + y^2 } \right) + b\left( {z^2 + t^2 } \right) = 1} \right\}$, a và b là hai số dương cho trước. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z,t) = (x + z)(y + t) $.

---------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

$ f(x,y,z,t)=(x+z)(y+t)=xy+xt+zy+zt$
BDT cauchy có
$ x^{2}+ y^{2} \ge 2|xy| \ge 2xy$
vì a,b>0
$ \Rightarrow \dfrac{ab}{a+b}(x^{2}+ y^{2}) \ge \dfrac{2ab}{a+b}xy$(2)
tương tự
$ \Rightarrow \dfrac{ab}{a+b}(z^{2}+ t^{2}) \ge \dfrac{2ab}{a+b}zt$( 3)
lại có
$ \dfrac{a^{2}}{a+b}x^{2} + \dfrac{b^{2}}{a+b}t^{2} \ge \dfrac{2ab}{a+b}xt $( 4)
$ \dfrac{a^{2}}{a+b}y^{2} + \dfrac{b^{2}}{a+b}z^{2} \ge \dfrac{2ab}{a+b}yz $( 5)
cộng các vế của (3)(4)(5)(2)
$ a\left( {x^2 + y^2 } \right) + b\left( {z^2 + t^2 } \right) \ge \dfrac{2ab}{a+b} $
$ \Leftrightarrow f(x,y,z,t) \le \dfrac{a+b}{2ab} $
a,b cho trước òi thì ta có max còn j' lữa
dấu pằng xảy ra khi nào tự tính nhá bạn

Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi điều kiện:
$x_1=a;x_{n+1}-x_{n}^2+x_n=\dfrac{3}{4};(n=1;2;3...)$
Tìm giá trị của a sao cho :$x_{1996}=x{1997}$

dãy só tương đương
$\leftrightarrow x_{n + 1} - \dfrac{1}{2} = (x_n - \dfrac{1}{2})^2 $
$\Rightarrow x_{n + 1} - \dfrac{1}{2} = (x_1 - \dfrac{1}{2})^{2^n } $
$\Rightarrow x_{1996} - \dfrac{1}{2} = (a - \dfrac{1}{2})^{2^{1995} } $
và $\ x_{1997} - \dfrac{1}{2} = (a - \dfrac{1}{2})^{2^{1996} } $
$\Rightarrow x_{1996} = x_{1997} $
$\Leftrightarrow (a - \dfrac{1}{2})^{2^{1995} } = (a - \dfrac{1}{2})^{2^{1996} } $
nên$\ a= \dfrac{1}{2} hoặc a= \dfrac{3}{2}$

Bài 1: Cho xyz = 1, Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\sqrt {1 + x^3 + y^3 } }}{{xy}} + \dfrac{{\sqrt {1 + y^3 + z^3 } }}{{yz}} + \dfrac{{\sqrt {1 + z^3 + x^3 } }}{{xz}} \ge 3\sqrt 3 $

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. C/m:
$(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \le abc$

Bài 3: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{{24 + x}} + \sqrt {12 - x} = 6$

theo bất đẳng thức AM-GM ta có
$\dfrac{{\sqrt {1 + x^3 + y^3 } }}{{xy}} \geq \dfrac{ \sqrt[2]{3} }{ \sqrt{xy} } $
tương tự với những cái khác rồi cộng chúng lại
$\sum \dfrac{{\sqrt {1 + x^3 + y^3 } }}{{xy}} \geq \sum \dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{ {xy} } } \geq 3 \sqrt[2]{3} $(AM-GM thôi)
bài 2 dùng bất đẳng thứ schur

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>0$ ta luôn có

$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} $ chia hết cho $38$.

Vì n > 0 nên ta đặt $ n = k+1 (k \ge 0)$

Thay n = k+1 vào n ta có biểu thức tương đương với: $ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k} .1+ 12^{k}.(-1)(mod19)$
Từ đây ta thấy k chẵn hay lẻ đều đồng dư với 0(mod19)

Ta có$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 2$

Vậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38((2,19)=1)$