longnguyen171

Tính tích phân: $\displaystyle I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2} } \dfrac{\sin^3 x \cos x}{1+\cos^2 2x} \mathrm{d} x.$

Trích Đề thi thử Đại học năm 2012 lần 7 - onluyentoan.vn

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2xsin2x}{1+cos^22x}dx=\frac{-1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-cos2x}{1+cos^22x}d(cos2x)$
Đặt $cos2x=t$
$I=\frac{1}{8}\int_{-1}^{1}\frac{1-t}{1+t^2}dt=\frac{1}{8}\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^2}dt-\frac{1}{16}ln(1+t^2)|_{-1}^{1}=\frac{1}{8}\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^2}dt$
Đặt $t=tanu$
$I=\frac{1}{8}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}du=\frac{u}{8}|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{16}$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=8 \end{matrix} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y+2\sqrt{xy}=36 & \\
x+y+2\sqrt{7(x+y)+xy+49}=50 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $x+y=u$ và $\sqrt{xy}=v$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
u+2v=36 & \\
u+2\sqrt{7u+v^2+49}=50 &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u=36-2v & \\
\sqrt{301-14v+v^2}=7+v &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u=18 & \\
v=9 &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=y=9$
Thử lại ta thấy $(x,y)=(9,9)$ thỏa mãn đầu bài

Bài 22 $2(cotx-cosx)-3(tanx-sinx)=1$

Điều kiện $x \neq k\frac{\pi}{2}$
$\Leftrightarrow 2(cotx-cosx+1)-3(tanx-sinx+1)=0$
$\Leftrightarrow 2(\frac{cosx-sinxcosx+cosx}{sinx})-3(\frac{sinx-sinxcosx+cosx}{cosx})=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
sinx+cosx-sinxcosx=0 & \\
tanx=\frac{2}{3} &
\end{bmatrix}$

Bài 21 $sin^{4}x+cos^{4}x+\frac{7}{8}tan(x+\frac{\pi }{6})tan(x-\frac{\pi }{3})=0$

Điều kiện : $x \neq \frac{\pi}{3}+k \pi$ và $x \neq \frac{5 \pi}{6}+k \pi$
$ \Leftrightarrow 1-2sin^2xcos^2x-\frac{7}{8}tan(x+\frac{\pi}{6})cot(x+\frac{\pi}{6})=0 $
$ \Leftrightarrow 2sin^2xcos^2x=\frac{1}{8} $
$ \Leftrightarrow sin2x=\frac{1}{2} $

Câu 3(1 điểm)
Tính $A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos(x-\frac{\pi }{4})}{4-3sin2x}dx$

$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx+sinx}{1+3(sinx-cosx)^2}$
Đặt $sinx-cosx=t \Rightarrow (cosx+sinx)dx=dt$
$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1+3t^2}$
Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{3}}tanu \Rightarrow dt=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{cos^2u}du$
$I=\frac{1}{\sqrt{6}}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}du=\frac{1}{\sqrt{6}}u\mid _{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{6}}$