longnguyen171

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=8 \end{matrix} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y+2\sqrt{xy}=36 & \\
x+y+2\sqrt{7(x+y)+xy+49}=50 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $x+y=u$ và $\sqrt{xy}=v$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
u+2v=36 & \\
u+2\sqrt{7u+v^2+49}=50 &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u=36-2v & \\
\sqrt{301-14v+v^2}=7+v &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u=18 & \\
v=9 &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=y=9$
Thử lại ta thấy $(x,y)=(9,9)$ thỏa mãn đầu bài

Bài 22 $2(cotx-cosx)-3(tanx-sinx)=1$

Điều kiện $x \neq k\frac{\pi}{2}$
$\Leftrightarrow 2(cotx-cosx+1)-3(tanx-sinx+1)=0$
$\Leftrightarrow 2(\frac{cosx-sinxcosx+cosx}{sinx})-3(\frac{sinx-sinxcosx+cosx}{cosx})=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
sinx+cosx-sinxcosx=0 & \\
tanx=\frac{2}{3} &
\end{bmatrix}$

Bài 21 $sin^{4}x+cos^{4}x+\frac{7}{8}tan(x+\frac{\pi }{6})tan(x-\frac{\pi }{3})=0$

Điều kiện : $x \neq \frac{\pi}{3}+k \pi$ và $x \neq \frac{5 \pi}{6}+k \pi$
$ \Leftrightarrow 1-2sin^2xcos^2x-\frac{7}{8}tan(x+\frac{\pi}{6})cot(x+\frac{\pi}{6})=0 $
$ \Leftrightarrow 2sin^2xcos^2x=\frac{1}{8} $
$ \Leftrightarrow sin2x=\frac{1}{2} $

Câu 3(1 điểm)
Tính $A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos(x-\frac{\pi }{4})}{4-3sin2x}dx$

$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx+sinx}{1+3(sinx-cosx)^2}$
Đặt $sinx-cosx=t \Rightarrow (cosx+sinx)dx=dt$
$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1+3t^2}$
Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{3}}tanu \Rightarrow dt=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{cos^2u}du$
$I=\frac{1}{\sqrt{6}}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}du=\frac{1}{\sqrt{6}}u\mid _{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{6}}$

Tính tích phân:$I=\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{xsin2x+ln(sinx)}{{cos}^{2}x}dx$

$\int xtanxdx$ không biểu diễn được qua nguyên hàm sơ cấp

Giải PT :
$cosx-4sinx=-1$

Do $b+c=-4+-1=-5+0\Rightarrow c{\rm{os}}\frac{x}{2} = 0$ ko là nghiệm của pt (1)
Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
$\to \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 4.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = - 1 \Leftrightarrow 1 - {t^2} - 8t = - 1 - {t^2} \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}$
$t = \frac{1}{4} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$
Nghiệm của pt trên là : http://www.wolframal...cosx-4sinx%3D-1 hoặc http://www.wolframal...c%7B1%7D%7B4%7D

Nhận xét $cos\frac{x}{2}=0$ không phải là nghiệm hình như hơi vội ! Bạn có thể tham khảo lại đường link của bạn !

$(1) \Leftrightarrow cosx+cos0-4sinx=0$
$\Leftrightarrow 2cos^2\frac{x}{2}-8sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=0$
$\Leftrightarrow 2cos\frac{x}{2}(cos\frac{x}{2}-4sin\frac{x}{2})=0 $
$\Leftrightarrow
\begin{bmatrix}
cos\frac{x}{2}=0& \\
cot\frac{x}{2}=4&
\end{bmatrix}$

CMR :
$4cos 36^{0}+cot7^{0}30' = \sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}$

* Chứng minh: $sin18^o=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
$cos36^o=sin54^o\Leftrightarrow 1-2sin^218^o=3sin18^o-4sin^318^o$
Đặt $sin18^o=t$ . Giải ra ta được điều phải chứng minh
Dễ dàng tính được $4cos36^o=\sqrt{5}+1 $ (1)
* Chứng minh $sin15^o = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$sin15^o=cos75^o=cos45^ocos30^o-sin45^0osin30^o=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$ . Điều phải chứng minh
Tương tự ta sẽ có được $cos15^o=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$cot\frac{15^o}{2}=\frac{sin\frac{15^o}{2}cos\frac{15^o}{2}}{sin^2\frac{15^o}{2}}=\frac{sin15^o}{1-cos15^o}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2$ (2)
Cộng (1) và (2) ta được điều cần chứng minh

Thật ra thì các bạn nào chưa học cấp 3 thì không nên vào đây vì giải hình không gian hại não lắm.
Rồi bài này siêu hại não nữa.
Thật ra thì nếu bài này có đáy là hình vuông thì mình đã giải ra được rồi.@@
$Giả sử ta có đáy là hình vuông: gọi O là tâm.
d(S,(MND)) = d(A,(MND)) = d(O,(MND)) (vì AO//(MND))$

$Mà MN vuông góc (OMD) (vì MN vuông góc ON và OD)
-> ta kẻ OH vuông góc ND
-> OH vuông góc (MND) (OH vuông MN, vuông ND)
-> d(O,(MND) = OH -> tính ra dễ dàng!$

Nhưng tiếc là đáy không vuông!

Nếu bạn đã học thể tích rồi, thì mình nghĩ bạn có thể làm được bằng cách dựa vào chóp D.MSN hoặc có thể tọa độ hóa bài này là tính được

Câu 3:

Tính tích phân

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{sin3x}{cos^2x}dx $

$ =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{3sinx-4sin^3x}{cos^2x}dx=-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{3-4(1-cos^2x)}{cos^2x}d(cos)x $
$=-4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}d(cosx)+\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^2x}d(cosx)=-4cosx\mid_{0}^{\frac{\pi}{6}}-\frac{1}{cosx}\mid_{0}^{\frac{\pi}{6}}=5-\frac{8\sqrt[3]3}{3}$

Mình thấy phần c) vô lý thế nào ý .
Nếu ta gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MN$ mà ta lại có $SA\perp MN$ nên $SA\equiv SH$.
Mặt khác : $SH\perp MD$ nên suy ra $SA\perp MD$ ( vô lí !!! ).
Bạn kiểm tra thử xem

Bạn vẫn bị nhầm đấy, gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng thì dù $SA \perp MN$ thì SH cũng không thể trùng với SA được. Bạn có thể nhìn hình sau

Rút gọn biểu thức a) $90.10^{k}$-$10^{k+2}$+$10^{k+1}$
b) $2,5.5^{n-3}.10+5^{n}$-$6.5^{n-1}$

a,
$= 9.10.10^k-10^{k+2}+10^{k+1}$
$= 9.10^{k+1}-10^{k+2}+10^{k+1}$
$= 10^{k+2}-10^{k+2}$
$= 0$
b,
$= 5^2.5^{n-3}+5^n-6.5^{n-1} $
$= 5^n-5^n$
$= 0$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với AA'=4a , AB=3a, BC=2a . Gọi điểm M là trung điểm trên BB' , điểm N trên DD' sao cho DN=a . Mặt phẳng (AMN) cắt CC' tại P.
1. Tính thể tích ABMND.
2. Tinh thể tích ANDCP.

biết (SAB) , (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$ , AB=BC=a, AD=3a.
1. Tính góc giữa (ABCD) và (SBD). (SBC) và (SAD), (SAB) và (SCD).
2. xác định và tính góc giữa SC và (SAD), SA và (SBD)
3. tính d(SA,CD), d(AB, SD), d(AD,SC)

Dễ dàng tính được CD=a$\sqrt{5}$
1. Việc chứng minh 3 cái là tương tự nhau , mình chỉ chứng minh cái đầu tiên còn các cái sau mình sẽ đưa ra gợi ý về góc.
a,Kẻ AK$\perp$BD
$\left.\begin{matrix}
SA\perp BD \\
AK\perp BD
\end{matrix}\right\}$
$\Rightarrow (SAK)\perp BD \Rightarrow SK\perp BD$
$\Rightarrow \widehat{[(ABCD),(SBD)]}=\widehat{SKA}$
$\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2} \Rightarrow AK=\frac{3a}{\sqrt{10}}$
$tan\widehat{SKA}=\frac{SA}{AK}=>\widehat{SKA}=... $

b,$\widehat{[(SBC),(SAD]}=\widehat{ASB}$

c,Kẻ DH$\perp$SE $\Rightarrow \widehat{[(SAB),(SCD]}=\widehat{DHA}$
2.
a,Kẻ CF$\parallel $AB $\Rightarrow$ CF$\perp$(SAD)
$\Rightarrow \widehat{[(SC),(SAD)]}=\widehat{CSF}$
$tan\widehat{CSF}=\frac{CF}{SC}$
SC có thể tính được bằng $\Delta $SAC

b,$\widehat{[(SA),(SCD)]}=\widehat{ASM}$ với M là chân đường cao của A đến SK
Các độ dài đều có thể dùng hệ thức lượng để tính

3.
a, Kẻ AN$\perp$CD
Do SA$\perp$(ABCD)
$\Rightarrow$ AN là đường vuông góc chung
$\Rightarrow$ d(SA,CD)=AN

b, Kẻ AO$\perp$AB
$\Rightarrow$ d(AD,SC)=AO

c, Kẻ AJ$\perp$CD
$\Rightarrow$ d(AB,SD)=AJ

- Phần thứ 3 này cũng có thể sử dụng trục tọa độ Oxyz vào để tìm khoảng cách

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=3,AC=4 góc tạo bởi các mặt bên và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính V(S.ABC).
( Thi thử Yên Thành 2_2012_lần 1)

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Vì các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau nên SO$\perp$(ABC)
Kẻ OE$\perp$AB $\Rightarrow $ Góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SEO
Ta có
$S_{ABC}=pr=\frac{1}{2}AB.AC$
$\Rightarrow r=\frac{AB.AC}{AB+AC+BC}=1$
$\Rightarrow EO=1$
$\Rightarrow SO=tan(60).EO=\sqrt{3}$
$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=2\sqrt{3}$

Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông ở A; BC=2a và $\widehat{ACB}=\alpha (0<\alpha<90^0)$. Gọi H là trung điểm AB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABC); Tam giác SBC vuông
1. Tính thể tích chóp S.ABC
2. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp
- Thi thử Hocmai.vn lần 3 -