caubeyeutoan2302

Các bài toán :



Câu 1: Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn là : $ \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $

Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 1979

Câu 2: Tìm $n$ để ta có $n!=2^{15}.3^6.5^{3}.7^{2}.11.13$

Câu 3: Hãy xác định tất cả các bộ nguyên dương (a,b) sao cho $a^2.b+a+b$ chia hết cho $a.b^2+b+7$

Bài toán :

Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?

Gợi ý : Mỗi số có trong dãy thỏa mãn đề như thế thì phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố đứng trước nó ., từ đó ta phân tích và tìm kết quả .

Bài toán con thạch sùng nổi tiếng đã từng là đề thi IMO

Một nhà sinh học quan sát tập tính của một con thạch sùng đang bắt ruồi và biết rằng nó nghỉ ngơi sau mỗi lần bắt được một con ruồi. Nhà sinh vật học nhận thấy rằng:

Con ruồi đầu tiên bị bắt sau thời gian nghỉ một phút .

Thời gian nghỉ trước khi bắt con ruồi thứ $2m$ bằng thời gian nghỉ trước khi bắt con ruồi thứ $m$ và kém một phút khi bắt con ruồi thứ $2m+1$ .

Khi thạch sùng hết nghỉ , nó lại bắt ruồi ngay tức khắc.

Câu hỏi :

a)Có bao nhiêu con ruồi bị thạch sùng bắt trước thời gian nghỉ 9 phút đầu tiên ?

b)Sau bao nhiêu phút thì con thạch sùng bắt được con ruồi thứ 98 ?

c)Có bao nhiêu con ruồi bị thạch sùng bắt sau 1999 phút trôi qua ?

Bài toán :

Tôi xét khai triển sau đây :

$ \frac{1}{1+ax+bx^2}=1+a_1.x+a_2.x^2+...............................$

Tôi có nhận xét rằng nếu $ a_i>0 $ với mọi $i=1,2,3,..............$ thì phương trình $ 1+ax+bx^2=0$ có các nghiệm đều thực .

Theo bạn , tôi có đưa ra một mệnh đề đúng hay không và vì sao ?

Bài toán :

-Tôi xét 2 dãy số sau đây $ {u_n} , {v_n};n=0,1,2,........... $ được xác định như sau :

$ u_0=\frac{\sqrt{2}}{2} , u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{1-\sqrt{1-u_n^2}} ; n=0,1,2,............. $

$v_0=1, v_{n+1}=\frac{\sqrt{1+v_n^2}-1}{v_n};n=0,1,2,...........$

Bạn hãy chứng minh là : $ u_n<\frac{\pi}{2^{n+1}}<v_n $