Jupiter_1996

Bài 95: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca=4$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}.\]

Giả sử mình viết bài xong, gửi đi rồi. Giờ mình muốn sửa lại bài viết đó thì làm như thế nào vậy Ad?

Cách 1: Trước hết, chúng ta CM BDT phụ sau

\[{\left( {\frac{a}{{a + b}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{b + c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{c + a}}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}\ \ \ (*)\]

Thật vậy, đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{b},z=\frac{a}{c} \Rightarrow xyz=1$. Ta có \[\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + y}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + z}}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}.\]

Ta luôn có

\[{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + y}}} \right)^2} \ge \frac{1}{{1 + xy}} \ \ \ (\bigstar )\]

Vì theo Cauchy-Schwarz, ta có ${\left( {1 + x} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt {xy} .\sqrt {\frac{x}{y}} } \right)^2} \le \left( {1 + xy} \right)\left( {1 + \frac{x}{y}} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} \ge \frac{y}{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right)}}$. Cộng BDT tương tự ta thu được BDT $(\bigstar)$.

Áp dụng $(\bigstar)$, ta có

\[{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + y}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + z}}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{1 + 1}}} \right)^2} \ge \frac{1}{{1 + xy}} + \frac{1}{{1 + z}} = 1 \Rightarrow (*).\text{ (đpcm)} \]

Áp dụng $(*)$ suy ra ngay $P \ge \frac{3}{4} - {\left( {\frac{c}{{c + a}}} \right)^2} + \frac{4}{3}{\left( {\frac{c}{{c + a}}} \right)^3} = \frac{3}{4} - {t^2} + \frac{4}{3}{t^3} = f\left( t \right)$ với $t=\frac{c}{a+c}$.

Cách 2: Áp dụng trực tiếp BDT $(\bigstar)$ suy ra

\[P \ge \frac{1}{{1 + \frac{b}{a}.\frac{c}{b}}} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{{{\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)}^3}}} = \frac{x}{{1 + x}} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}} = f\left( x \right)\]

với $x=\frac{a}{c}$.

Giải hệ PT

$$\left\{\begin{matrix}
&x^2\left(y+3\right)=4\left(2-y\right) \\
& y^2\left(z+3\right)=4\left(2-z\right) \\
& z^2\left(x+3\right)=4\left(2-x\right)
\end{matrix}\right.$$

Hệ pt đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{8y}{4-y^{2}}\\ y=\frac{8z}{4-z^{2}}\\ z=\frac{8x}{4-x^{2}} \end{matrix}\right.$ (Vì x=y=z=2 không phải là nghiệm của hệ)

Xét hàm số $f(t)=t;g(t)=\frac{8t}{4-t^{2}}$

$\Rightarrow f'(t)=1>0;g'(t)=\frac{8y^{2}+32}{(4-t^{2})^{2}}>0\forall t$

$... \Rightarrow x=y=z$

Từ đây ta có $x=\frac{8x}{4-x^{2}}\Leftrightarrow x=0$

Vầy hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=0

Sai mà sao vẫn có người like nhỉ? Bài này đặt $\frac{x}{2}=\tan {\alpha}$