doanminh_dragon

Đặc biệt hóa bài toán ta có :
Với $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a + b + c = 5$. Chứng minh rằng : $18a^2b + 27c^2a + 45abc \le 500$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

Sr. Chỗ $a < 4$ là $ M \ge -\frac{\Delta}{4a}.$ nhá.Gõ Latex hơi kém, mong mọi người thông cảm.

Ta có : $a + b + c = 5 \Rightarrow b = 5 - a- c$(1).
Ta phải CM :$ M = ac^2 + (3a^2 -10a)c + (a^3-5a^2+20) \ge 0. $
Xét hai trường hợp :

• $ a \ge 4. $ Ta có : $ M \ge 4c^2 + 8c + 4 \Rightarrow M > 0 $
• $ a < 4. $

Ta có : $ M \ge \dfrac{\Delta}{4a}$. Lại có : $\Delta = 5a(a-4)(a-2)^2 \le 0$(3)
Từ (2)(3) ta có : $ M \ge 0.$(dpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = c = 2, b = 1.

Ta có : \[a + b + c = 5 \Rightarrow b = 5 - a- c\](1).
Ta phải CM :\[ M = ac^2 + (3a^2 -10a)c + (a^3-5a^2+20) \ge 0. \]
Xét hai trường hợp :

• \[ a \ge 4. \] Ta có : \[ M \ge 4c^2 + 8c + 4 \Rightarrow M > 0 \]
• \[ a < 4. \].

Ta có : \[ M \ge \dfrac{\Delta}{4a}\]. Lại có : \[\Delta = 5a(a-4)(a-2)^2 \le 0\](3)
Từ (2)(3) ta có : \[ M \ge 0.\](dpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = c = 2, b = 1.