Comatorm

Trong hình thang, giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo, trung điểm 2 đáy, 4 điểm đó thẳng hàng.

Lấy G là giao điểm 2 đường chéo của hình thang ABCD, F là trung điểm AB, H là giao điểm của FG với CD.
Theo định lí talét: $\dfrac{{AF}}{{HC}} = \dfrac{{FG}}{{GH}} = \dfrac{{FB}}{{DH}}$
Suy ra H là trung điểm CD. Như thế F, G, H thẳng hàng.
Tương tự như thế ta chứng minh được E, F, H thằng hàng.

a) Trên mp(ABCD) cho AD và BC cắt nhau tại L
Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là SL
b) BM cắt SL tại I
c) mp(AMB) phải cắt mp(SDC) theo một đường song song với DC. Qua M vẽ đường thẳng song song DC, đường thẳng này sẽ cắt SD tại N.
J là giao của AM ( thuộc mp(SAC)) và BN (thuộc mp(SBD)) nên nó chạy trên giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD), tức là chạy trên SO khi M thay đổi.
d) Gọi K là trung điểm AB, theo "bổ đề hình thang" thì (trong hình thang ABMN) K, J, I thẳng hàng. Suy ra IJ đi qua K cố định khi M chạy.

Bài này quy về chứng minh bài hình phẳng như sau :
Cho $\Delta ABC$, N là trung điểm của trung tuyến AM, BN cắt AC tại P. Chứng minh $\dfrac{{AP}}{{PC}} = \dfrac{1}{2}$


Kẻ MK và NQ song song AC $ \Rightarrow $ K là trọng tâm $\Delta ABM$
$\Delta APN=\Delta MNK$ $ \Rightarrow $ AK // PM...