supermath197

Gọi pt đã cho là $(1)$.
Xét đa thức:
$P_{(x)}=\frac{x(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}+\frac{x(x-b)(x-c))}{a(a-b)(a-c)}+\frac{x(x-c)(x-a)}{b(b-c)(b-a)}-1$ luôn viết được dưới dạng
$P_{(x)}= A.x^{3}+B.x^{2}+C.x+D (A,B,C \in \mathbb{R})$
Lại có $P{(a)}=P{(b)}=P{\left ( c \right )}=0$ suy ra a,b,c là 3 nghiệm phân biệt của $P_{(x)}$.
Nếu ta chứng minh được $P_{(x)}$ chỉ có 3 nghiệm thì $x=a$,$x=b$, $x=c$ là 3 nghiệm đó và là nghiệm của $(1)$.
Giả sử $P_{(x)}$ có nhiều hơn 3 nghiệm, mà $deg P_{(x)}\leq 3$ suy ra hệ số của $P_{(x)}$ =0 hay nói cách khác
$\frac{1}{c(c-a)(c-b)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{a(a-b)(a-c)}=0$ ( vì đây là hệ số của $x^{3}$ )
Quy đồng rồi nhóm, tách suy ra pt trên tương đương với $(a-b)(b-c)(c-a)=0$ thì suy ra điều vô lí vì a,b,c khác nhau đôi một.
Vậy pt đã cho chỉ có 3 nghiệm $x=a$, $x=b$ , $x=c$

Rõ ràng là: với $x,y,z \in\{1,2,3\}$
$S_n=x^n+y^n+z^n$
$S_1=x+y+z \le 5$ suy ra $(x,y,z) \in \{(1,1,1); (1,1,2); (1,1,3)\}$ (không tính các hoán vị, vì bản chất như nhau)
Trường hợp 1: $S_n=1^n+1^n+1^n=3 \Rightarrow S_2=3<11$ (Trái với giả thiết)
Giả sử $S_n=1^n+1^n+2^n=2+2^n$ (Trường hợp 2)
Ta lại có: $S_2=2+2^2=6<11$ (Trái với giả thiết)
Vậy chỉ có thể xảy ra trường hợp 3:
$S_n=1^n+1^n+3^n=2+3^n$
Ta có: $S_2=2+3^2=11$ (Thỏa mãn giả thiết)
Từ đó có điều phải chứng minh

Đề có cho x,y,z nguyên đâu ??

Bài 13 :
Cho đa thức $P_{o}(x)= x^{3}+22x^{2}-6x+15$. Với $n\epsilon Z$ ta có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n)$ .
Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

Bài này dễ nek` :
Có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n) ->P_{21}(x)=P_{20}(x-21)=P_{19}(x-21-20)=....P_{0}(x-(1+2+3+..+21))=P_{0}(x-231)=(x-231)^{3}+22(x-231)^{2}-6(x-231)+15$
-> HS of x=149913
minh29995 tinh' nhầm chỗ 22.2.231

Câu 1: Rút gọn với $a+b+c=0$
$A=(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b})(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})$

Câu 2: Tìm min $T=(x+y)(z+x)$với $x,y,z,t$là các số dương thỏa mãn: $(x+y+z)zyx=1$

Câu 3: Giải hệ
$xz=x+4$
$2y^2=7xz-3z-14$
$x^2+t^2=35-y^2$

Câu 4: Cho (O) đường kính AB. E thuộc OA, M thuộc EA. CD là dây cung vuông góc AB. DM giao (O) ở N. $(O_1)$bán kính r là đường tròn tiếp xúc (O) ở J và tiếp xúc các đường thẳng DN, CM ở K, I. Cho AM=a, ME=b, BE=c.
1. CM tam giác $O_1MK$đồng dạng tam giác MCE
2. Tính $\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

Câu 5: Tìm số gồm 5 chữ sô $x,y,z,t,u$thỏa mãn: $\bar{xy}+\bar{ztu}=\sqrt{\bar{xyztu}}$

Ca^u 3 pt 3 vie^t sai roi kia !
Mod: Gõ tiếng Việt có dấu!!!

Đề sai bạn ơi, xem bài 15 ở đây: http://diendantoanho...pic=72390&st=30
Phải là $ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$


Ta có:
$ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$
$\to ab(a^2+b^2+2ab)+2(a+b)+1=0$
$\to ab(a+b)^2+2(a+b)+1=0$
$\to (1-ab)(a+b)^2-(a+b)^2+2(a+b)-1=0$
$\to (1-ab)(a+b)^2=(a+b-1)^2$
$\to 1-ab=(\frac{a+b}{a+b-1})^2$ là bình phương của một số hữu tỉ

Sặc, thảo nào làm mãi không ra
Mà chỗ kia phải là $a+b+1$ chứ
$ab(a+b)^{2}+2(a+b)+1=0$
$-ab(a+b)^{2}-2(a+b)-1=0$
$(a+b)^{2}-ab(a+b)^{2}-(a+b)^{2}-2(a+b)-1=0$
$(1-ab)(a+b)^{2}= (a+b+1)^{2}$
...
MOD: Lần sau bạn viết tiếng Việt có dấu nhé, không được dùng ngôn ngữ chat ..