Spin9x

Giải hệ phương trình sau:
\[ \begin{cases}\frac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)}-1(1)\\ \sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\end{cases}\quad (2)(x,y\in\Bbb{R}) \]


Từ (2)
$[(x+1) -\sqrt{xy+3x}]^2 = x-y-2 (3) $

Từ (1)


$\Rightarrow$ $\frac{2x^2+4y^2+xy}{xy}\frac{x}{y}=4\frac{x}{y} \sqrt{\frac{(2x-3y)(x+y)}{xy}}$

$\Rightarrow$
$2(\frac{x}{y})^2 +\frac{x}{y}+4=4\sqrt{\frac{x}{y}(\frac{x}{y}+1)(2\frac{x}{y}-1)} (*)$

Đặt $\frac{x}{y}=t$
$(*) \Leftrightarrow$ $2t^2-3t +4(t+1)=4\sqrt{(2t^2-3t)(t+1)}$

Chia 2 vế cho $t+1$ , Đặt $\sqrt{\frac{2t^2-3t}{t+1}}=a$ Ta có
$2a^2-4a+4=0$
$\Leftrightarrow a=2$

Với $a=2$ $\Leftrightarrow$ $t=4$ hoặc $t=\frac{-1}{2}$
Với $t=4$ $\Leftrightarrow$ $ x=4y$

Thay vào (3) ta có :
$(4y-\sqrt{4y^2+12y})^2 -2\sqrt{4y^2+12y} +5y+3=0$
$\Leftrightarrow$
$ 20y^2 +17y+3 -2(4y+1)\sqrt{2y^2+12y}=0$
$\Leftrightarrow$ $(4y+1)(5y+3-2\sqrt{4y^2+12y})=0$

$\Leftrightarrow$ $y=\frac{-1}{4} \Leftrightarrow x=-1$
Thử lại : loại
hoặc $5y+3=2\sqrt{4y^2+12y}$
$\Leftrightarrow$ $y=1 \Leftrightarrow x=4$
Thử lại : thỏa mãn

Với $t=\frac{-1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $ 2x=-y$
Thày vào (3) ta có :
$10x^2-17x+3+2(x+1)\sqrt{x(3-2x)}=0$

$108^4-336x^3+333x^2-114x+9=0$
$3(x-1)(9x-1)(2x-1)(2x-3)=0$

Với $x=1$ $\Leftrightarrow$ $y=-2$
Với $x=\frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow$ $y=\frac{-2}{9}$
Với $x=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $y=-1$
Với $x=\frac{2}{3}$ $\Leftrightarrow$ $y=\frac{-4}{3}$
Thử lại vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm $(1;4)$ nhầm

Không đặt điều kiện.
Điểm bài 8
S = 25+3*8 = 49

CHúc tất cả các thành viên của VMF năm mới Quý Tỵ mạnh khỏe, an khang thịnh vượng...
Chúc tất cả các thành viên năm nay thi Đại Học đều đậu nha !!

mjnh đã từ chối một tình yêu để học.
Bạn ấy đã nói ra và để mjnh lựa chọn 2 con đường : Yêu và học
Thực sự thì đó là một quyết đjnh khó khăn.

BÀI GIẢI:
$© $ có tâm $I(1;1)$ và $R=5$.
Gọi $J(\frac{5}{2};3)$.Ta sẽ CM $MA=2MJ$
Ta có $MA=2MJ$
$\Leftrightarrow$ $MA^2=4MJ^2$
$\Leftrightarrow$ $(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA})^2=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IJ})^2$
$\Leftrightarrow$ $2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IJ}=3R^2+4IJ^2-IA^2$ (Đúng) $\qquad$ (Vì sao đúng?)
Ta có $MA+2MB=2(MJ+MB)\geq2BJ$.
Dấu bằng có khi $M,B,J$ thẳng hàng
Phương trình $BJ:2x+y-8=0$
Vậy $BJ$ giao $©$ tại 2 điểm có tọa độ $(1;6)$ $(5;-2)$
Thử lại chọn $M(1;6)$ $qquad$(Thử vào đâu nhỉ?)
_______________________________
Trời ạ! Cậu này còn chơi trội hơn (đưa ra điểm $J$ dựa trên cơ sở gì thế không biết!)
Choáng!
Bài làm quá vắn tắt, lập luận thiếu căn cứ!
Điểm bài làm: $d=6$

S = 24 + 6*3 = 42

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TÂN KỲ - NGHỆ AN

Thời gian : 150 phút !

Câu 1: Xác định m để đường (d) : $y=x-2$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2mx-3-2m}{x+2}$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $OA,OB$ bằng $\frac{\pi}{4}$

Câu 2: Giải phương trình

$\sqrt{5x^2+15x+4+3x\sqrt{9x^2+3}}+2x+1=\sqrt{x^2+x+1}$

Câu 3: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}2x^2y-y^2=1 & \\ x-y=(y^3-x^3)(x^4+y-1) & \end{matrix}\right.$

Câu 4:
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có các cạnh $AA'=3a ; AB=a\sqrt{3} ; AC=2a$ và góc giữa 2 mặt phẳng $(ACC'A') ; (BCC'B')$ bằng $60$ . Gọi $M$ là trùng điểm $BB'$ , $N$ là trung điểm $A'B'$ . $G$ là trọng tâm tam giác$BB'C'$. Tính thể tích khối tứ diện $AMNG$.

Câu 5: Cho $x,y$ là hai số thực thay đổi . Tìm min

$P=\sqrt{2(x^2+y^2-x+y)+1}+\sqrt{2(x^2+y^2+x-y)+1} + \sqrt{2(x^2+y^2+2x+2y+2)}$

Câu 6:
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau . Gọi $\alpha ,\beta, \gamma$ lần lượt là các góc giữa $(ABC)$ và $(SBC),(SCA),(SAB)$ . CMR:

$P=\frac{cos^2\alpha}{cos\beta +cos\gamma}+\frac{cos^2\beta}{cos\alpha+cos\gamma}+\frac{cos^2\gamma}{cos\beta +cos\alpha}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}
$

Câu 7: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại B. Đường tròn tâm $I(-1;0)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc $AC$ tại $D(-1;-2)$. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác biết phương trình $AB : 4x+3y-6=0$

P/S: "Đi thi mà gặp đề này chắc trượt xa mất "

Giải phương trình: $\sqrt{3}^x -2^{x-1}=1$

Giải phương trình vô tỷ: $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Câu này thế nào nhở?

Có thê giải băng cach này:

Áp dụng hê thưc Euler;

$d^2=R^2-2Rr$

Ta tính đươc $r$ Đên đây bài toán đơn giản hơn.

Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
Toán thủ ra đề:
hoangtrong2305

ĐIỀU KIỆN CẦN:
Nhận thấy nếu $x$ là nghiệm thì $-x$ cũng là nghiệm hệ phương trình:
Nên hệ có nghiệm duy nhất khi $x=-x$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ là nghiệm của hệ.

Với x=0 thay vào (2) ta có $y=1 ; y=-1$
Thay $(x;y)$ vào (1) ta được $a=2;a=-1$ $a=2$ hoặc $a=0$

ĐIỀU KIỆN ĐỦ:
Với $a=2$ hệ trở thành:
$$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+1=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow$
$$\left\{\begin{matrix}(2x^{2}+1+|\sin x|)^2=1-\tan^{2}x(1')\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$

$(1')$ $\Leftrightarrow$ $4x^2+\sin^{2}x+4x^2|\sin x|+4x^2+2|\sin x|+\tan^2{x}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ do VT$\geqslant 0 $

Vậy $a=2$ thoả mãn và nghiệm hệ là $(0;1)$

Với $a=-1$ hệ trở thành
$$\left\{\begin{matrix} (-x^{2}-2)=y-|\sin x|(1)\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow$
$$\left\{\begin{matrix}(-x^{2}-2+|\sin x|)^2=1-\tan^{2}x(1')\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 (2)\end{matrix}\right.$$

$(1'')$ $\Leftrightarrow$ $ x^4+4x^2+\sin^{2}x-2x^2|\sin x|-4|\sin x|+\tan^2{x}+3=0$ (3)

Ta có $x=0$ không phải là nghiệm nên (3) có nghiệm $x$ sẽ có nghiệm $-x$ $\Leftrightarrow$ hệ có quá 1 nghiệm.

Vậy $a=-1$ không thoả. Kết luận này chưa chính xác! (có thể phương trình vô nghiệm?)

Kết luận:
$a=2$ thì hệ có nghiệm duy nhất là $(0;1)$

_________________________
Điểm bài làm: $d=5$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 5+0+0=40$

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn: Toán . Khối A

Thời gian: 150 phút

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x(1) \\1+y^2=5\left ( 1+x^2 \right )(2) & & \end{matrix}\right.$

$(2) \Leftrightarrow 4=y^2-5x^2$
Thay vào (1) ta có
$x^3+(y^2-5x^2)y=y^3+4x(y^2-5x^2)$
$\Leftrightarrow 21x^3 -5x^2y -4xy^2=0$
Xét y=0 ......
Xét y#0 chia 2 vế cho y^3 ta được
$21(\frac{x}{y})^3-5(\frac{x}{y})^2-4\frac{x}{y}=0$

Đề thi chọn HSG lớp 12 TP Hải Phòng năm 2012-2013

Môn: Toán

Ngày thi: 16/10/2012

Câu 2:
a/ Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2 \\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

PT$(1) \Leftrightarrow y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2$
$\Leftrightarrow
y^2+2-x=x(\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}} + 1)$
$\Leftrightarrow y^2+2-x = \frac{y^2+2-x}{(\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}} -1)}$
$\Leftrightarrow y^2=x-2$
hoặc
$y^2=4x-2$

Ngày thi 10/10/2012
Thời gian làm bài 180 phút



Câu 2 (4 điểm)
Giải phương trình
$$\left ( \sqrt{3}+1 \right )cos^2x+\left (\sqrt{3} -1 \right )sinxcosx+sinx-cosx=\sqrt3$$

$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(1+cos2x)+(1-\sqrt{3})sin2x+2(sinx-cosx)=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})cos2x-2(cosx-sinx)+(1-\sqrt{3})(1-sin2x)=0$
$\Leftrightarrow (cosx-sinx)(cosx+\sqrt{3}sinx-1)=0$

Sao câu dãy số không có đề anh??

Giải phương trình:
$sinx+siny+sin(x+y)=3\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài I.3

TXĐ: $D=R$

Ta có $f'(x)=\frac{2-3x}{\sqrt(x^2-1)^3}$

$f'(x)=0$ $\leftrightarrow x=\frac{2}{3}$

Lập bảng biến thiên ta được $maxf(x)=\sqrt{13}$

Cái này bạn phải tính giới hạn nữa để xét min

Bài I.2:
TXD :$D=[\frac{-\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$
Xét $f(x)=5cosx-cos5x$
$f'(x)=5sin5x-5sinx$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow sin5x=sinx $
Lấy trên D ta có $x=\frac{\pi}{6}$
Ta có $f(\frac{-\pi}{4})=\sqrt{18}$
$f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{18}$
$f(\frac{\pi}{6})=\sqrt{27}$
Vậy $minf(x)=\sqrt{18};max(f(x))=\sqrt{27}$