Tru09's Content
There have been 629 items by Tru09 (Search limited from 06-06-2020)
#340389 Xác định điểm Q thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{AQE} =...
Posted by Tru09 on 26-07-2012 - 10:28 in Hình học
Lấy H là trung điểm AB
$FI \perp AB$
Dễ thấy F và Q ở cùng phía với EH
Vậy$ \angle AQE =\angle BQF \rightarrow \angle FQI =\angle EQH$
$\rightarrow \Delta FQI $~$\angle EQH$
$\rightarrow \frac{IQ}{QH} =\frac{FI}{EH}$
$\rightarrow \frac{IQ}{IH}=\frac{FI}{FI +EH}$
$\rightarrow IQ =\frac{FI.IH}{FI +EH}$ (cố định)
$\rightarrow$ Điểm Q ở trên BC và cách I 1 khoảng $\frac{FI.IH}{FI +EH}$
#327117 Xác định vị trí của M để $S_{MCHD}$ max
Posted by Tru09 on 19-06-2012 - 21:35 in Hình học
$S_{CDEF} = CD .\frac{R}{2} =MH .\frac{R}{2}=\frac{S_{MBA}}{2}$
Mà$ \frac{S_{MBA}}{S_{M'BA}} =\frac{MH^2}{M'O^2} \leq 1$
$\rightarrow S_{CDEF} \leq \frac{S_{M'BA}}{2}=\frac{R^2}{2}$
dấu "=" sảy ra $\leftrightarrow $$H\equiv O, M\equiv M'$
D,
ta có $S_{MCHD} =2S_{CMD}$
Dễ dàng cm $\Delta MCD ~~\Delta MBA$
$\rightarrow \frac{S_{MCD}}{S_{MBA}} =\frac{AH^2}{2 AO^2} \leq \frac{1}{4} $
$\rightarrow \frac{S_{MCHD}}{S_{MBA}}\leq \frac{1}{2}$
Mà$ \frac{S_{MBA}}{S_{M'BA}} =\frac{MH^2}{M'O^2} \leq 1$
$\rightarrow \frac{S_{MCHD}}{S_{M'BA}}=\frac{1}{2}$
$\rightarrow S_{MCHD} \leq \frac{R^2}{2}$
dấu "=" sảy ra $\leftrightarrow $$H\equiv O, M\equiv M'$
#339819 Xác định thời điểm và vị trí 2 xe khi chúng cách nhau 4.
Posted by Tru09 on 24-07-2012 - 22:49 in Đại số
4,4km=4400m
khi người thứ 2 bắt đầu đi thì oto 1 đẫ đi dc : 3600
Khoảng cách 2 người lúc này là :10200-3600= 6600m
Hiệu vận tộc 2 người là ;2m/s
Để 2 người cách nhau 4.4 km thì họ phải đi mất :(chưa gặp nhau)
TH1 :$\frac{6600-4400}{10+12}=100s$
khi đó là lúc :8h và 100s nữa
lúc đó người 1 cách A 1260m,cách B:4540m
về người 2 cũng tương tự
Trường hợp 2 cũng tương tự:
.....
#351791 Xin tài liệu .
Posted by Tru09 on 03-09-2012 - 10:55 in Tài liệu - Đề thi
Hiện giở ai có file PDF những sách như :"Những Viên Kim Cương " ,"Cẩm nang vẽ Hình phụ" của Thầy Tấn ,"Sáng Tạo BDT" của Thầy Hùng , hoặc những quyển BDT của Võ Quốc Bá Cẩn,Trần Phương,Trần Quốc Anh v..v thì share cho mọi người nhá .Em cảm ơn .
#341275 Tuyển tập một số bài phương trình, hệ phương trình thi HSG tỉnh
Posted by Tru09 on 28-07-2012 - 21:57 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Coi x là số lớn nhất trong x,y,z
TH1 :
$x \geq y \geq z$(1)
$\rightarrow x^{19} \geq y^{19} ,y^5 \geq z^5$
$\rightarrow 1890z +z^{2001} \geq 1890x +x^{2001}$
$\rightarrow 1890(z-x) +z^{2001} -x^{2011} \geq 0$
$\rightarrow z \geq x$(2)
Từ (1) và (2) $\rightarrow x=y=z$
TH2 :$x \geq z \geq y$(3)
$\rightarrow z^{19} \geq y^{19} ,x^5 \geq z^5$
$\rightarrow 1890y +y^{2001} \geq 1890x+x^{2001}$
$\rightarrow 1890(y-x) +y^{2001} -x^{2001} \geq 0$
$\rightarrow y\geq x(4)$
Từ (3) và (4) $\rightarrow x=y=z$
Vậy cả 2 trường hợp $\rightarrow x=y=z$
Nếu x=y=z =0 thì thoả mãn
Nễu x=y=z khác 0
Thì
$x^{18} +x^4 =1890 +x^{2000}$
Ta có :nếu x=1 và -1 thì sai
Nếu $x \geq 2$ hoặc $x \leq -2$ thì$ x^{2000} \geq x^{18} +x^4$$ \rightarrow$ loại nuốt
$\rightarrow x=y=z=0$
#338212 Trục căn thức ở mẫu sau:$\frac{1}{4\sqrt[3]...
Posted by Tru09 on 20-07-2012 - 22:15 in Đại số
Vậy đề như vậy có làm dc ra như anh nthoangcute không??Bài này kinh thật, và đây là kết quả chuẩn:
$\frac{1}{4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}-16}=-\frac{15}{191}-\frac{4\sqrt[3]{2}}{191}-\frac{17\sqrt{4}}{764}$
(p/s cho mình hỏi: có phải tất cả các p/s đều có thể trục căn không)
#338173 Trục căn thức ở mẫu sau:$\frac{1}{4\sqrt[3]...
Posted by Tru09 on 20-07-2012 - 21:19 in Đại số
Có vẻ cách bạn sai :|Bạn ơi đề đúng đấy,không sai đâu,nếu để thế này mới khó chứ .Mình gợi ý kết quả này :[/size]
$\frac{15\sqrt[3]{4}-68}{764}$
không tin vào đây xem kq =))
http://www.wolframal...\sqrt[3]{2}-16}
Và
http://www.wolframal...[3]{4}-68}{764}
#337765 Trục căn thức ở mẫu sau:$\frac{1}{4\sqrt[3]...
Posted by Tru09 on 19-07-2012 - 20:04 in Đại số
Mình nghĩ đề là $\frac{1}{4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+16}$Trục căn thức ở mẫu sau:$\frac{1}{4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}-16}$
Gọi$ \sqrt[3]{2} =a$
$\rightarrow a^3 =2$
$\rightarrow BT \leftrightarrow \frac{2}{8a^2+4a+16a^3} =\frac{a^3}{4a(2a+1+4a^2)} =\frac{a^2.(2a-1)}{4.((2a)^3-1)} $
=$\frac{\sqrt[3]{4}.(2\sqrt[3]{2} -1)}{60}$
#498144 Trận 9 - Tổ hợp, rời rạc
Posted by Tru09 on 09-05-2014 - 22:21 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài Làm :
Bài toán tương đương số nghiệm của hệ phương trình
#498397 Trận 9 - Tổ hợp, rời rạc
Posted by Tru09 on 11-05-2014 - 15:13 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài Làm :
Bài toán tương đương số nghiệm của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x+y+z+t =32 \\ x,y,z,t \in N* \\ x\neq y \neq z \neq t \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow $$\left\{\begin{matrix} x-1+y-1+z-1+t-1 =28 \\ x,y,z,t \in N* \\ x\neq y \neq z \neq t \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow $$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =28 \\ a,b,c,d :\text{Không âm} \\ a \neq b \neq c \neq d \end{matrix}\right.$
Ta xét phần bù .
( Ở đây ta xét tính thứ tự của a,b,c,d)
Số nghiệm không âm của phương trình a+b+c+d =28 là 4495
Trước hết ta tính số nghiệm không âm của phương trình a+b+c+d=28 với :$\begin{pmatrix} 31 \\ 3\end{pmatrix}$ =4495
@~ > Với chỉ đúng 2 số trong 4 số bằng nhau .Không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là $a=b=k ( 0 \leq k \leq 14)$
$\Rightarrow c+d =28 -2k$
Để có đúng 2 số bằng nhau thì ta loại đi trường hợp $c=d \neq 7$ ( xảy ra khi $0 \leq k \leq 14 ,k \neq 7$) ( có 14 trường hợp như vậy ) và Chỉ 1 trong 2 só $c,d =k$ ( chỉ xảy ra khi $0 \leq k\leq 9 và k \neq 7$) (có 18 trường hợp như vậy) và loại đi trường hợp $k=c=d$ ( chỉ xảy ra khi $ k=7$).( có 1 trường hợp như vậy )
Tóm lại ta phải loại đi 33 trường hợp .
Số nghiệm không âm của phương trình c+d =28 -2k với (0\leq c ,d \leq 28-2k , k chạy từ 0 đến 14) là $\sum (28-2k +1) =225$
Tóm lại với a=b thì số nghiệm không âm của phương trình $a+b+c+d =28$ là :$225 -33 =192$
Như vậy tổng cộng có 1152 nghiệm không âm của phương trình $a+b+c+d =28$ mà chỉ có đúng 2 số bằng nhau.
@~> Với chỉ đúng 3 số trong 4 số bằng nhau .Không mất tính tổng quát giả sử 3 số đó là $a=b=c=k (0 \leq k\leq9)$
$\Rightarrow d =28 -3k$
Để có đúng 3 số bằng nhau thì ta loại đi trường hợp $d= k$ nghĩa là $k =7$ .Vậy chỉ loại đi 1 trường hợp.
Vậy số nghiệm không âm của phương trình $a+b+c+d=28$ có đúng 3 số bằng nhau là $9x4 =36.$
@~> Với đúng 4 số bằng nhau ( 1 trường hợp)
@~> Với đúng 2 cặp 2 số bằng nhau ( 2 cặp này khác nhau ) Không mất tính tổng quát giả sử $a=b=k ,c=d =t (k \neq t)$
Khi đó $k+t =14$ khi đó có 14 trường hợp
Vậy số nghiệm không âm của phương trình $a+b+c+d =28$ với 2 cặp 2 số bằng nhau ( 2 cặp khác nhau) là $14x3 =42$
Tóm lại số nguyệm không âm có ít nhất 2 số bằng nhau của phương trình $a+b+c+d =28$ là $1152+36+42+1=1231$
Vậy số nghiệm không âm đôi 1 khác nhau của phương trình $a+b+c+d =28$ là $4495-1231=3264$
Do a,b,c,d ở trên ta xét có tính thứ tự
Nên số cách chia kẹo vào các hôp không tính thứ tự là 3264 :24= 136 cách.
Tóm lại Số cách chia kẹp vào các hộp sao cho mỗi hộp có số lượng kẹo khác nhau là 136 cách chia .
____________________________
NX: Sai về cách trình bày ký hiệu đôi một khác nhau (- 1đ )
Điểm bài: $d=9$
Điểm thưởng $d_t=8$
Điểm mở rộng $d_{mr}=0$
Điểm thảo luận $d_{tl}=0$
$S = \left \lfloor\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{3} \right \rfloor+3\times d+d_{mr}+d_{t}+d_{tl}=\left \lfloor\frac{52 - 42}{3} \right \rfloor+3\times 9 +0+8+0=38$
#492239 Trận 7 - Số học
Posted by Tru09 on 11-04-2014 - 20:31 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+y^2+z^2=x^2y^2$
Toán thủ ra đề: vutuanhien
Bài Làm :
Nếu x,y đều lẻ thì $x^2 \equiv 1$ mod 4 , $y^2 \equiv 1$ mod 4 $\Rightarrow x^2 +y^2 \equiv 2$ mod 4 Còn $(xy)^2 \equiv 1$ mod 4.
Như vậy $z^2 \equiv 3$ mod 4 $\Rightarrow$ vô lý
Vậy ít nhất một trong 2 số x,y là chẵn.
Xét x chẵn Ta có: $(xy)^2 \vdots 4 \Rightarrow y^2+z^2 \vdots 4 \Rightarrow$ y và z cùng chẵn.
Như vậy cả x,y,z đều chẵn.
Đặt $x =2x_1 ,y=2y_1 , z =2z_1 ( x_1 ,y_1 ,z_1 \in Z)$
Thay vào đề bài ta có $x_1^2 +y_1^2 +z_1^2 = 4 x_1^2.y_1^2$
Bởi 1 số chính phương chia 4 chỉ dư 0,1
$\Rightarrow x_1^2 +y_1^2 +z_1^2 = 4 x_1^2.y_1^2$
$\Leftrightarrow x_1 ,y_1 ,z_1$ chẵn
Đặt $x_1 =2x_2 ,y_1 =2y_2 ,z_1 =2z_2 (x_2 ,y_2 ,z_2 \in Z)$
Thay vào ta lại có $x_2 ^2 +y_2^2 +z_2^2 =16 x_2^2y_2^2$
Lặp lại quá trình như vậy sẽ dẫn đến $x \vdots 2^k ,y \vdots 2^k ,z \vdots 2^k (k \in Z)$
Điều này chỉ đúng khi $x=y=z=0$
Vậy nghiệm của phương trình nghiệm nguyên là $x=y=z=0$
#489333 Trận 6 - Phương trình và hệ phương trình
Posted by Tru09 on 28-03-2014 - 23:16 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm :
Từ Phương Trình (1) $\Rightarrow x \neq 1 , y \neq -1$
Từ Phương Trình (1) $\Rightarrow |x-1| .|y+1| =1 \Rightarrow |x-1| =\frac{1}{|y+1|}$
$\Rightarrow x =\frac{1}{|y+1|}+1 hoặc x= \frac{-1}{|y+1|} +1$
Thay vào Phương trình (2) $ \Rightarrow \frac{1}{|y+1|} -m|y+1| \leq m-1$
$\Leftrightarrow 1-m(y+1)^2 \leq (m-1)|y+1|$
$\Leftrightarrow m(y+1)^2 +(m-1)|y+1| -1\geq 0$
$\Leftrightarrow (|y+1|+1)(m|y+1|-1) \geq 0$
Ta có $ |y+1| +1 \geq 0 \forall y $
Nếu m \leq 0 \Rightarrow hệ bất phương trình vô nghiệm.
Nếu m >0
$\Rightarrow |y+1| \geq \frac{1}{m}$
$\Rightarrow y \geq \frac{1}{m}-1$ hoặc $ y \leq \frac{-1}{m} -1 $
Và $x=\frac{1}{y+1}+1 hoặc x =\frac{-1}{y+1} +1$
( $y \neq -1$)
Tóm lại với $m \leq 0 \Rightarrow$ Hệ bất phương trình vô nghiệm.
Với $m > 0 \Rightarrow$ hệ bất phương trình có nghiệm (x,y) =($\frac{\pm1}{y+1}+1,$ $y \neq -1$ và$ y \geq \frac{1}{m} -1$ hoặc $ y \leq \frac{-1}{m}-1$) ,
#485581 Trận 4 - Đa thức, phương trình hàm
Posted by Tru09 on 02-03-2014 - 23:54 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Mở rộng :
Thực chất bài toán là : $f(x+y) -f(xy) =f(x) +f(y)-f(x)f(y) \forall x,y \in R$ với 2 biến $x,y$
vậy ta thử nâng lên n biến :v
Bài toán :
$f(x1+x2+...+xn) -f(x1x2...xn) =\sum f(x1) -f(x1)f(x2)...f(xn)$
Để giải bài toán này
Ta phải xét trường hợp n =2 ( lời giải như bài MO)
Lý luận tương tự $\Rightarrow f(0)= 0$ khi cho tất cả các biến $=0$
Sau đó cho $x3 ,...xn =0 \Rightarrow f(x1+x2)=f(x1) +f(x2) .$
Từ đó suy ra f cộng tính sau đó suy ra f nhân tính
$\Rightarrow$ f đồng biến.
Và phần còn lại giải như TH n=2
#485535 Trận 4 - Đa thức, phương trình hàm
Posted by Tru09 on 02-03-2014 - 20:50 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Tìm các hàm f: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả:
$$f(x-y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$(*); $\forall x,y\in\mathbb{R}$$
Đề của bachhammer
Lời giải : (bài chính thức ) (BTC xóa bài trên hộ em
Từ đề bài ta thay $y=0 \Rightarrow f(x) +f(0) =f(x)-f(0) +f(x).f(0) \forall x \in R$
$\Rightarrow 2f(0) =f(x)f(0) \forall x \in R(**)$
Thay $x =y=0$ ta có $2f(0) =f^2(0) $
$\Rightarrow f(0) =0$ hoặc $f(0) =2$
Nếu $f(0) =2$ thì từ $(**) \Rightarrow f(x) =2 \forall x \in R$
Ta xét f(0) =0
Từ đề bài ta thay $y= 1 \Rightarrow f(x-1) +f(x) =f(x) -f(1) +f(x).f(1) \forall x \in R (***)$
Từ đề bài ta thay $x=y=1 \Rightarrow f(0) +f(1) =f(1) -f(1) +f^2(1)$
$\Rightarrow f(1) =f^2(1)$
$\Rightarrow f(1) =0$ hoặc $f(1) =1$
Nếu $f(1) =0$ thì thay vào $(2) \Rightarrow f(x-1) = 0 \forall x \in R \Rightarrow f(x) =0 \forall x \in R$
Ta xét $f(1) =1$ và $f(0) =0$
Từ $(***) \Rightarrow f(x) -f(x-1) =1 \forall x \in Z$
$\Rightarrow f(x-1) -f(x-2) =1 \forall x \in Z$
Tương tự như vậy cho đến $f(2) -f(1) =1$
Cộng hết lại ta có :
$f(x) -1 =x-1 \forall x \in Z$
$\Rightarrow f(x) =x \forall x \in Z$
Từ (*) thay $x =0 \Rightarrow f(-y) = -f(y) \forall y \in R$
Thay y thành -y vào (*) ta có : $f(x+y) -f(xy) =f(x) +f(y) -f(x)f(y) \forall x,y \in R (.)$
Cộng với (*) ta có :$ f(x+y) +f(x-y) =2f(x) \forall x,y \in R$
Từ đó thay tiếp $x=y \Rightarrow f(2x) =2f(x) \forall x \in R $
Vậy $f(x+y) +f(x-y) =f(2x) \forall x ,y \in R$
Mà $x+y +x-y =2x$
$\Rightarrow f$ cộng tính .
Thay vào (.) $\Rightarrow f(x)f(y) =f(xy) \forall x,y \in R$
vậy $f$ nhân tính
Mặt khác thay $x =y$ vào đề bài $\Rightarrow f(x^2) =f^2(x) \geq 0 \forall x \in R (..)$
Vậy với mỗi $x > 0 thì f(x) >0$
xét $x2 \geq x1$
Ta có $f(x2) =f(x2 -x1 +x1) =f(x2-x1) +f(x1) \geq f(x1) ($ do $x2 -x1 \geq 0)$
Vậy f đồng biến.
Ta chứng minh$ f(nx) =nf(x) \forall n \in Z$
Với $n =1$ thì luôn đúng
Giả sử đúng đến $n-1 \Rightarrow f((n-1)x) =(n-1)f(x) \forall x \in R$
Từ đề bài ta thay $y= -(n-1)x \Rightarrow f(nx) -f((n-1)x^2) =f(x) +f((n-1)x) -f(x)f((n-1)x) \forall x \in R$
$\Rightarrow f(nx) -(n-1)f(x^2) =f(x) +(n-1)f(x) -(n-1)f^2(x) \forall x \in R$
Kết hợp với $(..) \Rightarrow f(nx) = nf(x) forall x \in R ,n \in Z$
Với mỗi số nguyên $a,b \Rightarrow f(b) = f(a.\frac{b}{a}) =a f(\frac{b}{a}) =b \forall a,b \in Z$
$\Rightarrow f(\frac{b}{a}) =\frac{b}{a} \forall a,b \in Z$
Vậy với mỗi q hữu tỷ thì $f(q) =q.\forall q \in Q$
Nếu $f(x) =x \forall x \in R$ thì ta có dpcm
Nếu tồn tại $x_0 \in R mà f(x_0) \neq x_0$
Ta đặt $f(x_0)=t_0$
TH1 : $x_0 > t_0$
tồn tại $m_0$ hữu tỷ sao cho $x_0 > m_0 > t_0$
Vì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x_0) > f(m_0) > f(t_0)$
$\Rightarrow t_0 > m_0$ Vô lý
TH2 $x_0 <t_0$
tồn tại m_0 hữu tỷ sao cho $x_0 <m_0 <t_0$
Vì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x_0) <f(m_0)<f(t_0)$
$\Rightarrow m_0 >t_0$ vô lý
Do đó $f(x) =x \forall x \in R$
Thử lại với f(x) =0 , f(x) =2 ,f(x) =x thấy đúng.
Tóm lại f(x) =0 hoặc f(x) =2 hoặc f(x) =x
#485201 Trận 4 - Đa thức, phương trình hàm
Posted by Tru09 on 28-02-2014 - 21:38 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm :
Thay $y=0$ ta có $f(x) +f(0) =f(x) -f(0) +f(x).f(0) \Rightarrow 2f(0) =f(x).f(0) \forall x \in R (1)$
Thay $x=y=0$ ta có : $2f(0) =f^2(0)$
Xét $f(0) \neq 0$ thay vào $(1)$ ta có $f(x) =2 \forall x \in R$
Xét $f(0) =0$
Từ $(*)$ thay $x=y=1 \Rightarrow f(1)=f^2(1)$
Xét $f(1) =1$
Từ $(*)$ ta thay $y=1 \Rightarrow f(x-1) +f(x) =f(x) -1 +f(x) \forall x \in R$
$\Rightarrow f(x) -f(x-1) =1 \forall x \in R$
$\Rightarrow f(x-1) -f(x-2) =1 \forall x \in R$
Tương tự đến $f(x-(x-2)) -f(x-(x-1)) =1 \forall x \in R$
Cộng lại ta có $f(x) -f(1) =x-1 \forall x \in R$
$\Rightarrow f(x)=x \forall x \in R$
Xét $f(1) =0$
Thay $y=1 \Rightarrow f(x-1) +f(x) =f(x) \Rightarrow f(x-1) =0 \forall x \in R$
\Rightarrow f(x) =0 \forall x \in R$
Thử lại thấy đúng.
Vậy $f(x) =f(1)x \forall x \in R$
hoặc $f(x) =2$ nếu $f(0) \neq 0$
#481923 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc
Posted by Tru09 on 08-02-2014 - 13:18 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm
-------------
p/s Bài làm e viết lộn 1 tí ở phần bunia :3 , em sửa thành $\frac{(x+y+z+1)^2}{3} =\frac{210^2}{3}$ . Em rất xin lỗi về sự nhầm lẫn trên
#481799 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc
Posted by Tru09 on 07-02-2014 - 22:48 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài Làm :
Gọi A là thành phố có nhiều đường đi +đường đi đến nhất
Gọi tập các thành phố có đường đi từ A đến là X . Có x phần tử
Gọi tập các thành phố đi đến A là Y .Có y phần tử
Gọi tập các thành phố không đến cũng không đi đến A là Z . Có z phần tử.
Khi đó $x+y+z =209$
Nếu tồn tại 1 đường đi trong tập X thì vô lý
Nếu tồn tại 1 đường đi trong tập Y cũng vô lý
Do A là thành phố có nhiều đường đi và đi đến nhất nên x+y >x+z và x+y >y+z
Nên để có nhiều đường đến nhất thì các thành phố ở Z liên kết với các thành phố ở X,Y
Vậy Số các đường đi liên quan đến Z không quá z(x+y)
Các đường đi giữa X,Y là xy
Vậy tổng số đường đi là $xy+ z(x+y) +x+y =yx +x(z+1) +(z+1)y \leq (x+y+z+1)^2 =\frac{210^3}{3}$ ( theo bunia )
Dấu = xảy ra khi x=y=z+1 Khi A đi đến 70 thành phố , và bị 70 thành phố khác đi đến . Các thành phố đi đến và bị đi đến A đều đi đến và bị đến 69 thành phố còn lại
#478883 Trận 2 - Hình học
Posted by Tru09 on 25-01-2014 - 01:31 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm :
Chọn trục tọa độ có $Ox \equiv d$
Đặt $A (a_x ,a_y) ,B(b_x ,b_y) ,C(c_x,c_y) ,M(m,0) ,U(u,0) ,V(v,0)$
Ta có $\frac{MR}{MU} =\frac{MS}{MV} =k$
Vậy $x_{R} =m-(m-u)k=m(1-k) +uk$
Tương tự $x_S =m(1-k) +vk$
Vậy $R (m(1-k)+uk ,0) và S (m(1-k)+vk ,0)$
Phương trình đường thẳng AB là $\frac{x-a_x}{b_x-a_x} =\frac{y-a_y}{b_y -a_y}$
$\Leftrightarrow \frac{(x-a_x)(b_y-a_y) +a_y(b_x-a_x)}{b_x-a_x} =y$
Như vậy P là giao điểm của $x =m(1-k) +uk$ và AB
$\Rightarrow y_p =\frac{(m(1-k)+uk-a_x)(b_y -a_y)}{b_x-a_x} +a_y $
Vậy $P (m(1-k)+uk ,\frac{(m(1-k) +uk -a_x)(b_y -a_y)}{b_x -a_x} +a_y)$
Chứng minh tương tự ta cũng có
$Q (m(1-k) +vk ,\frac{(m(1-k) +vk -a_x)(c_y-a_y)}{c_x -a_x} +a_y)$
Vậy $\vec{PQ} = (k(v-u) ,\frac{(m(1-k)+uk -a_x)(c_y -a_y)}{c_x -a_x} -\frac{(m(1-k) +vk -a_x)(b_y-a_y)}{b_x-a_x})$
Phương trình đường thẳng từ M vuông góc PQ là :
$k(v-u) (x-m) +(\frac{(m(1-k) +uk -a_x)(c_y-a_y)}{c_x-a_x}-\frac{(m(1-k)+vk -a_x)(b_y-a_y)}{b_x -a_x})y =0$
Gọi phương trình trên là P(x,y)
Giả sử đường thẳng qua M vuông góc PQ đi qua điểm cố định $T (x_0 ,y_0)$
Thì $P (x_0 ,y_0) =0 \forall m$
Đây là phương trình bậc 1 đối với m nên P(x_0 ,y_0) =0 $\forall m$ $\Leftrightarrow $mọi hệ số =0
Ta có hệ số $m = -k(v-u) +(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})y_o=0$
Nếu $ \frac{c_y -a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x} =0$
$\Leftrightarrow \frac{c_y}{v-a_x} =\frac{b_y}{u-a_x}$ ( Do $a_y=0 ,b_x =y ,c_x=v$)
$\Leftrightarrow \frac{CV}{VA} =\frac{BU}{UA}$
$\Leftrightarrow tan_{\angle UAB} =tan_{\angle VAC} \Leftrightarrow \Delta AUB =\Delta AVC$ . Khi đó ta chọn gốc tọa độ tại A thì $u-v =0 \Rightarrow hệ số m =0$
Nếu không , ta chọn $y_0 =\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y -a_y}{b_x-a_x})} =\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y}{v-a_x}-\frac{b_y}{u-a_x})} $
Hệ số bậc 0 của m là $x_0(v-u)k +y_0 ((uk-ax)\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x}- (vk -ax)\frac{b_y-a_y}{b_x -a_x}) =0$
Nếu u=v thì ta thay vào , hệ số bậc 0 của m cũng =0
Nếu u khác v ta chọn $x_0 =\frac{\frac{k(v-u)}{(1-k)(\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})} .((uk-ax)\frac{c_y-a_y}{c_x-a_x} -(vk-ax)\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x})}{u-v}$
Tóm lại Đường thẳng qua M vuông góc PQ luôn đi qua điểm cố định
Lời giải khá ổn. Tuy nhiên, em nên xem xét kĩ hơn các mẫu số khi thực hiện kiểu tọa độ này.
$d=8,5$
$d_{mr}=0;d_{t}=0;d_{tl}=0$
$S=40,5$
#322643 Trận 16 - "MSS24 ToanHocLaNiemVui" VS ALL
Posted by Tru09 on 05-06-2012 - 15:30 in Thi giải toán Marathon cấp THCS 2012
Ta xét y = 0 $\rightarrow$ Bất đẳng thức cần chứng minh $\leftrightarrow$ 1+0=1 $\geq \frac{5}{8}$( luôn đúng)Đề của trọng tài:
Bài 1: Cho $49c\ge a\ge b\ge c>0$. Chứng minh:
$$a+4b+7c\le 4\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right)$$
Bài 2: Cho các số không âm $x,y$. Chứng minh:
$$\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge \frac{5}{8}$$
Chú ý: Chỉ cần giải 1 trong 2 bài.
Không sử dụng các phương pháp vượt quá chương trình THCS.
Thời gian làm bài được tính từ 12 giờ ngày 4 tháng 6 năm 2012.
Ta xét x = 0 $\rightarrow$ Bất đẳng thức cần chứng minh $\leftrightarrow$ 1+0=1 $\geq \frac{5}{8}$( luôn đúng)
Khi y $\neq$ 0 , ta đặt $\sqrt{\frac{x}{y}}$ =a (a > 0)
Bất đẳng thức cần chứng minh:
$\leftrightarrow \frac{\frac{x^4 + y^4}{y^4}}{\frac{(x+y)^4}{y^4}} +\frac{\sqrt{xy}}{\frac{x}{y} +1} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1}{(a^2+1)^4} +\frac{a}{a^2 +1} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1}{(a^2+1)^4} +\frac{a(a^2 +1)^3}{(a^2 +1)^4} \ge \frac{5}{8}$
$\leftrightarrow \frac{a^8 +1 +a(a^2 +1)^3}{a^2 +1)^4}\ge \frac{5}{8}$
Quy đồng lên ta có :
$\leftrightarrow 8(a^8 +1 +a(a^2 +1)^3) \geq 5(a^2 +1)^4 $
$\leftrightarrow 8(a^8 +1+a^7 +3a^5 +3a^3 +a ) \geq 5(a^8 +4a^6 +6a^4 +4a^2 +1)$
$\leftrightarrow 8(a^8 +1+a^7 +3a^5 +3a^3 +a ) - 5(a^8 +4a^6 +6a^4 +4a^2 +1) \geq 0$
$\leftrightarrow 3a^8 + 8a^7 -20a^6 +24a^5 -30a^4 +24a^3 -20a^2 +8a +3 \geq 0$
$\leftrightarrow (3a^8 -3a^7) +(11a^7 -11a^6) -(9a^6 -9a^5)+(15a^5 -15a^4)-(15a^4 -15a^3)+(9a^3 -9a^2)-(11a^2 -11a^1)-3(a-1)\geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)(3a^7 +11a^6 -9a^5 +15a^4 -15a^3 +9a^2 -11a -3) \geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)[(3a^7 -3a^6) +(14a^6 -14a^5)+(5a^5 -5a^4)+(20a^4 -20a^3)+ (5a^3 -5a^2)+(14a^2 - 14a^1)+3(a-1)] \geq 0$
$\leftrightarrow (a-1)^2 (3a^6 +14a^5 +5a^4 +20a^3 +5a^2 +14a +3) \geq 0$
Ta có $(a-1)^2 \geq 0 $
$a>0 \Rightarrow 3a^6 +14a^5 +5a^4 +20a^3 +5a^2 +14a +3 \geq 0$
Do đó $\rightarrow$ ĐPCM ,dấu "=" sảy ra $\leftrightarrow a=1 \leftrightarrow \sqrt\frac{x}{y} =1 \leftrightarrow x=y$ $\leftrightarrow Q.E.D$
D-B=27.5h
E=10
F=0
S=50.5
#501364 Trận 10 - Bất đẳng thức
Posted by Tru09 on 24-05-2014 - 23:22 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Đặt $a =\frac{1}{x} ,b =\frac{1}{y} ,c =\frac{1}{z}$
Thay vào điều kiện ta có a+b+c=3
Thay vào bất đẳng thức . Ta cần chứng minh $\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)} \leq \frac{3}{4}$
$\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)} =\sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2) +a^2+b^2} \leq \sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2+2)} =\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}$
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2} \leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{3}{2}$
Mà $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$
Ta sẽ chứng minh
$\frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) +18$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2 +18$
Mà $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq \sum 2(b^2 +ac)=(a+b+c)^2 +a^2+b^2+c^2 \geq 18 +a^2+b^2+c^2 .$
Như vậy ta có dpcm
Vậy BĐT cần chứng minh đúng .Dấu = xảy ra khi x=y=z =1
#476717 Trận 1 - Số học
Posted by Tru09 on 11-01-2014 - 20:40 in Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm :
Nếu $y =0 \Rightarrow x=1$
Nếu $y \geq 1$. Ta có $x > y$
Mặt khác $x^2 =y^2 +\sqrt{y+1} < y^2 +2y +1 =(y+1)^2$ ( Do $y+1 <(2y+1)^2 \forall y \geq 1$ )
$\Rightarrow y^2 < x^2 < (y+1)^2$ . Khi đó phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y) =(1,0)$
Không thử lại: trừ 1đ
$d=9$
$d_{mr}=0; d_{t}=0; d_{tl}=0$
$S=44$
#321667 Trong hình chữ nhật có diện tích bằng 5
Posted by Tru09 on 02-06-2012 - 09:18 in Hình học
giả sử diện tích các phần chung của 2 hình chữ nhật nào cũng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$
$A_{1}$ có diện tích =1
Phần diện tích của$A_{2}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ luôn lớn hơn :
1 - $\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$
Phần diện tích của $A_{3}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$
Phần diện tích của $A_{4}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$
Phần diện tích của $A_{5}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
Phần diện tích của $A_{6}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$
Phần diện tích của $A_{7}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{3}{9}$
Phần diện tích của $A_{8}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{2}{9}$
Phần diện tích của $A_{9}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ và $A_{8}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$
Tổng diện tích của 9 hình chữ nhật sẽ lớn hơn:
$\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\frac{6}{9}+\frac{5}{9}+\frac{4}{9}+\frac{3}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=5 $
Điều nè vô lý
#340109 TOPIC VỀ CÁC BÀI HÌNH HỌC LỚP 7,8
Posted by Tru09 on 25-07-2012 - 17:04 in Hình học
Lấy $MI \cap AB =N$
vẽ $BL \perp DB ,L \in DC$
Dễ dàng cm:$ ANMD :\text{hình bình hành}$
Sau đó cm:$BNCM :\text{hình bình hành}$
TIếp đó cm:$ABLC :\text{Hình bình hành}$
$\rightarrow$ $DM =AN=BN+AB=MB+CL=ML$
Mà $\Delta DBL$ vuông tại B với MD=ML
$\rightarrow BM=ML=DM$
$\rightarrow DPCM$
- Diễn đàn Toán học
- → Tru09's Content