Posted by
Bài toán. Chứng minh rằng số điểm nguyên trong hình lập phương đóng $-n\leq x,y,z\leq n$ thỏa mãn điều kiện $-s\leq x+y+z\leq s$ bằng $\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\left ( \frac{sin\frac{2n+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}} \right )^{3}\frac{sin\frac{2s+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}}dt$ trong đó s, n nguyên
Lời giải. Xét hàm sinh của bài toán
$G(x)=\left ( \frac{1}{x^{n}}+\frac{1}{x^{n-1}}+...+\frac{1}{x}+1+x+...+x^{n-1}+x^{n} \right )^{3}$
$=...+a_{-k}x^{-k}+a_{-k+1}x^{-k+1}+...+a_{-1}x^{-1}+a_{0}+a_{1}x+...+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}+...$
Dễ thấy khi đó số các điểm nguyên của hình lập phương đóng thỏa mãn điều kiện $x+y+z=m$ trong đó m nguyên và $-3n\leq m\leq 3n$ chính là hệ số $a_{m}$ trong khai triển trên.
Do đó
Số cần tìm = $a_{-s}+a_{-s+1}+...a_{1}+a_{0}+a_{1}+...+a_{s-1}+a_{s}$
Để tính tổng này ta chú ý đến một kết quả quen thuộc trong giải tích phức:
$\int_{-\pi }^{\pi }e^{ikx}dx=2\pi$ nếu k=0 và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.
nên nói chung ta thấy:
$\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }G(e^{it})e^{-kxt}dt=a_{k}$, trong đó$-3n\leq k\leq 3n$
Để thuận tiện trong trình bày ta sẽ đặt $\zeta =e^{it}$ nên ta được :
$\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }G(\zeta)\zeta ^{-k}dt=a_{k}$
Ta có
$\sum_{i=-s}^{s}a_{i}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }G(\zeta)(\sum_{i=-s}^{s}\zeta ^{i})dt$
Không quá khó khăn để chứng minh đẳng thức sau:
$\sum_{i=-m}^{m}\zeta ^{i}=\frac{\zeta ^{-\frac{2m+1}{2}}-\zeta ^{-\frac{2m+1}{2}}}{\zeta ^{-\frac{1}{2}}-\zeta ^{\frac{1}{2}}}=\frac{sin\frac{2m+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}}$ ( chú ý ta có: $\zeta =e^{it}$
nên $\sum_{i=-s}^{s}a_{i}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\left ( \frac{sin\frac{2n+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}} \right )^{3}\frac{sin\frac{2s+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}}dt$ (đpcm)
