Cho $a, b, c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=1$

Cmr

$\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\geq 8$

Ta có : 

$\prod \left ( \frac{1}{a}-1 \right )=\prod \left ( \frac{b+c}{a} \right )\geq \prod 2.\frac{\sqrt{bc}}{a}\geq8$

Ta có :$\frac{x}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{2}.\frac{2x}{(x^2+1)^2-x^2}=\frac{1}{2}.\frac{(x^2+x+1)-(x^2-x+1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )$

Mặt khác : $(x+1)^2-(x+1)+1=x^2+x+1$

Khi đó cộng lại sẽ triệt tiêu hết các phân số ở giữa ,còn lại :

$S= \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{1^2-1+1}-\frac{1}{1^2+1+1}+\frac{1}{2^2-2+1}-\frac{1}{2^2+2+1}+\dots +\frac{1}{2011^2-2011+1}-\frac{1}{2011^2+2011+1} \right)\\=\frac{1}{2}.\left ( 1-\frac{1}{2011^2+2011+1} \right )$

1. $ PT(1)+3.PT(2)=(y+1)(3(x-3)^{2}+(y+1)^{2}) $

 

3. $ PT(1)+2.PT(2)=(x-2)(5(y-1)^{2}+(x+3)^{2}) $

làm sao để biết cộng mấy lần vậy ạ ???

??? Làm sao bình phương được.Nếu được cậu có thể làm tiếp được không?

Đến bước đó có 2 trường hợp :

+ )$x^2-2x-1=0\Leftrightarrow \boxed{x=1 \pm \sqrt{2}}$

+ )$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=\frac{1}{x+1}\\\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=x-1\Leftrightarrow x^2-2x+3=x^2-2x+1 (VN)$

Cách của bạn khá hay và sáng tạo .Tuy nhiên đến phần đánh giá thì nếu không khéo thì cũng khá khó đấy nhưng dù sao cảm ơn cách giải của bạn.

cái liên hợp bình phương chơi luôn được mà bạn ~~ 

 

Bài 206:  Giải phương trình:

 

$x+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}=1$

Bình phương đại rồi xét điều kiện :

$\Rightarrow \frac{9x^2}{x^2+1}=x^2-2x+1\\\Leftrightarrow 9x^2=x^4-2x^3+2x^2-2x+1\\\Leftrightarrow x^4-2x^3-7x^2-2x+1=0$

Tới đây ra phương trình đối xứng, chắc giải được :3

áp dụng bất đẳng thức Minkowsky:

\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-+1)^{2}}\geq \sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}

làm tương tự với ba bộ 

dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn?, min bằng mấy nữa?

cụ thể tí ~~

Cái này có thể áp dụng trực tiếp luôn anh ạ! Đặt làm gì?

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}$

Tương tự, cộng lại ta có đpcm.

đang làm dở ,thấy hố nên thôi ~~~

p/s :tết rãnh nên ngu :3

@@ Đã nói là bài chúc tết nên dễ, chỉ lừa chút thôi:

 

Thực ra bình phương lên là phương trình bậc 2, Ok chưa!

như này đề thi đại học , chú chơi lầy ~~ :v

Chậc, mấy bài tồn kho hại não quá, bài mới:  (1 bài chúc tết, 1 bài thử sức)

 

 

Bài 205: Giải phương trình:

 

$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

$\sqrt{x^2-2x+3}-2=\frac{x^2+1}{x+1}-2\\\Leftrightarrow \frac{x^2-2x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=\frac{x^2-2x-1}{x+1}$

đến đây dễ rồi

2.Đặt $a+b-c=x; a+c-b=y;b+c-a=z\\\Rightarrow \frac{x+y}{2}=a; \frac{y+z}{2}=c ; \frac{x+z}{2}=b$

Bđt tương đương :

$\sum \frac{1}{x}\geq \frac{2}{x+y}$

Áp dụng bđt cộng mẫu : 

Ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$, 

tương tự cộng lại ta có đpcm 

bài 1 như xyz =1 phải không ?

1.Cho x,y là các số không âm và $x^{2}+y^{2}=1$ Tìm max, min P= $ x^{3}+y^{3} $

được cái $Min$:

Áp dụng Bunhia :

$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\Leftrightarrow x^3+y^3\geq\frac{1}{x+y}\geq\frac{1}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$Max$:Do x,y không âm :

$x^2\leq1;y^2\leq1 \Rightarrow 0\leq x \leq 1 ; 0\leq y \leq 1\\\Rightarrow x^2\leq x \Leftrightarrow x^3\leq x^2 ; y^3\leq y^2\Rightarrow x^3+y^3 \leq x^2 + y^2 \leq 1$ 

Đẳng thức khi $x=0; y=1 $ ngược lại

3/ cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$ :

tìm gtnn của biểu thức: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$

Ta có :$\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)\geq3\\\Leftrightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq\sqrt{3}$

Áp dụng bđt : $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.CMR: $\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

tham khảo cái này :http://hocban.net/ho...on-bang-1-2.htm

khó ghê

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.CMR: $\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\geq \frac{1}{2}$

nhầm đề thì phải ~~

Giải phương trình $\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{-3x^3+x^2+2x-1}=2x^2+2x+2$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho vế trái, ta có :

$\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{-3x^3+x^2+2x-1}\leq\sqrt{2(3x^2+2x+1)}$

Mà $4x^2+4x+4\geq3x^2+2x+3\geq(3x^2+2x+1)+2\geq2\sqrt{2(3x^2+2x+1)}\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+2\geq\sqrt{2(3x^2+2x+1)}$

Đẳng thức khi $x=-1$

....

 

..... là gì ạ?

pp hàm số đó bạn , kiểu như đặt $f(x)$ thì nó đồng biến thì xảy ra khi $x=t$

24/ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=5 & \\ \sqrt{y-1}(x+y-1)=(y-2)\sqrt{x+y} & \end{matrix}\right.$

Từ $2$, ta có :

$\sqrt{y-1}(x+y-1)=(y-2)\sqrt{x+y}\\\Leftrightarrow (y-2)(\sqrt{x+y}-\sqrt{y-1})-(x+1)\sqrt{y-1}=0\\\Leftrightarrow (x+1)\left ( \frac{y-2}{\sqrt{x+y}+\sqrt{y-1}}-\sqrt{y-1} \right )=0\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1\\ y-2=y-1+\sqrt{(y-1)(x+y)} \end{bmatrix} \\\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=\pm 2$

phải ko nhỉ ?

Bất phương trình chứa căn bậc ba

b)$\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{x+4}\geq 4$

ai có công thức giải mấy loại này cho em xin      

Đặt $\sqrt[3]{12-x}=a;\sqrt[3]{x+4}=b$.Ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq4\\ a^3+b^3=16 \end{matrix}\right.$

Từ cái $1$, lại lập phương rồi thế , ta có :

$16-b^3\geq64-48b+12b^2-b^3\\\Leftrightarrow 0\geq12b^2-48b+48\Leftrightarrow b=2\Leftrightarrow x=4$

Bất phương trình chứa căn bậc ba

d)$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}> 1$

ai có công thức giải mấy loại này cho em xin      

làm mò câu d :v , sai thì thông cảm :

Đặt $\sqrt[3]{2-x}=a;\sqrt{x-1}=b$. Ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b>1\\ a^3+b^2=1 \end{matrix}\right.$

Từ cái $1$ , lập phương lên , (tại hình như lập phương không đổi dấu )

$a^3>1-3b+3b^2-b^3\\\Rightarrow 1-b^2>1-3b+3b^2-b^3\\\Leftrightarrow 0>-b^3+4b^2-3b\\\Leftrightarrow \boxed{0<b<1;b>3}\\\Leftrightarrow \boxed{1<x<2;x>10}$

Cho 2 số dương $x, y$ thoả mãn $x+2y=3$

Chứng minh

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geq 3$

 

Cảm ơn mọi người

             

Áp dụng Bunhiacopxki:

$\left ( \frac{1}{x}+\frac{2}{y} \right )\left ( x+2y \right )\geq(1+2)^2=9\\\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geq3 (x+2y=3)$

Dầu bằng khi $x=y=1$

ĐK: $\begin{cases} &  x^2+9x-1 \geq 0 \\  &  11-3x \geq 0 \end{cases}$

 

Ta có: $6\sqrt{x^2+9x-1}+6x\sqrt{11-3x}=12x+18$

 

$\iff (3x+10-6x\sqrt{11-3x})+(9x+8-6\sqrt{x^9x-1})=0$

 

$\iff \dfrac{(3x-10)(3x-2)(12x+5)}{3x+10+6x\sqrt{11-3x}}+\dfrac{5(3x-10)(3x-2)}{9x+8+6\sqrt{x^9x-1}}=0$

 

$\iff (3x-10)(3x-2)(\dfrac{12x+5}{3x+10+6x\sqrt{11-3x}}+\dfrac{5}{9x+8+6\sqrt{x^9x-1}})=0$

 

$\iff x=\dfrac{10}{3}$    v   $x=\dfrac{2}{3}$  (vì phần trong ngoặc luôn dương)

trâu dữ dội

Cho a,b,c > 0. Chứng minh :

$\frac{ab}{c^2(a+b){}} + \frac{bc}{a^2(b+c){}} + \frac{ca}{b^2(c+a){}} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$

Ta được :$\sum \frac{z^2}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}$

(hiển nhiên đúng theo $Cosi-Svac$)

2) $x^{3}+22x^{2}-11x=(6x^{2}+12x-6)\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow x^3+11x(2x-1)=6x^2\sqrt{2x-1}+6(2x-1)\sqrt{2x-1}$

Đặt $\sqrt{2x-1}=b$. ta được :

$x^3-6x^2b+11xb^2-6b^3=0$

Đến đây dễ rồi, tính $b$ theo $x$, ta được 3 trường hợp :

$\sqrt{2x-1}=x\Leftrightarrow \boxed{x=1}\\ \sqrt{2x-1}=\frac{x}{2}\Leftrightarrow \boxed{x=4\pm 2\sqrt{3}}\\ \sqrt{2x-1}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow \boxed{x=9\pm 6\sqrt{2}}$

a) $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

làm câu cơ bản ~~ :

Áp dụng bđt Cô si, cho 2 số : 

$\frac{a^2}{b^2}+1\geq2.\frac{a}{b};\frac{b^2}{a^2}+1\geq2.\frac{b}{a}$

Cộng vế với vế, ta có :

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )-2$

Chỉ cần chứng minh :

$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )-2\geq\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\\\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$

Bđt cuối luôn đúng  $\forall a,b >0$