Biện luận số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2-x^2}sinx+\sqrt{2+x^2}cosx=\left | a+1 \right |+\left | a-1 \right |$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: $8(\sum \frac{a^2}{bc})^2\geq 9(1+4sin^2\frac{A}{2})(1+4sin^2\frac{B}{2})(1+4sin^2\frac{C}{2})$

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm trên đoạn $\left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$ :

$mx^2+2cosx = 2$

Cho hai số thực dương a,b có $a\geq 3;2a+3b\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$

Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: $8(\sum \frac{a^2}{bc})^2\geq 9(1+4sin^2\frac{A}{2})(1+4sin^2\frac{B}{2})(1+4sin^2\frac{C}{2})$

Cho tam giác ABC, tìm GTLN của $P=\frac{\sqrt{3}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{4\sqrt{1+\frac{5}{sin\frac{C}{2}}}-1}$

Giải bất phương trình: $x-\sqrt{x-2}>\sqrt{x^3-4x^2+5x}-\sqrt{x^3-3x^2+4}$

Giải bất phương trình:

$(5x^2-5x+10)\sqrt{x+7}+(2x+6)\sqrt{x+2}\geq x^3+13x^2-6x+32$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \left | 4cosx.cosy \right |=1 & \\ cos2x+cos2y+1\leq 0& \end{matrix}\right.$

Tìm các giá trị của m để bất phương trình: $x(2-x)+m(\sqrt{x^2-2x+2}+1)\leq 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn $\left [ 0;1+\sqrt{3} \right ]$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ sau có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là 1 đơn vị:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-2x-12}{x}\geq 3x+4 & \\ m(x-1)\geq m+6& \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC có AB=10, AC=4, góc A bằng 60. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=6, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE=x. Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng  $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z:

$\left | x+y-z \right |+\left | y+z-x \right |+\left | x+z-y \right | \left +| x+y+z \right | \geqslant 2(\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |)$

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Tìm m để hệ sau có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là 1 đơn vị:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-2x-12}{x}\geq 3x+4 & \\ m(x-1)\geq m+6& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1 & \\ \sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m+1& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}