Ảnh chụp màn hình_2013-04-17_165646.png

Mình chỉ có ý tưởng thế này thôi, các bạn khai thác tiếp nha!

Gọi $S$ là giao điểm của $LT$ và $KU$, thay vì chứng mình $LT,AD,KU$ đồng quy, ta đi chứng mình $S,A,D$ thẳng hàng.

Gọi $P$ là giao điểm của $FU,ET$

Mà ta có:

$LT\cap KU=S$

$LF\cap KE=M$

$FU\cap ET=P$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm: $T,L,F,U,K,E$ thì ta có

$S,M,P$ thẳng hàng.

Nhiệm vụ chúng ta bây giờ là chứng mình $P\in AD$ nữa là $OK!$

Chứng minh điều này thì dùng trực tiếp Pascal lần nữa thôi, và dùng 1 bổ đề nữa Không đơn giản chỉ Pascal đâu  

P/s: Điều tớ cần không phải là chứng minh nó bằng Pascal, các định lý chỉ dùng Ceva hoặc Menelaus, dùng Pascal thì mạnh quá rồi

Bài toán:

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AC$ và $BD$ cắt nhau ở $I$. Gọi $H,K$ lần lượt là trưc tâm các tam giác $AID,BIC$. $HK$ cắt $(O)$ ở $M,N$. Gọi $J$ là giao điểm tiếp tuyến taị $M,N$ của $(O)$. $S$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Chứng mình rằng: $S,I,J$ thẳng hàng.

Mấu chốt của bài toán này đi chứng minh $HK$ đi qua $T$, vói $T$ là giao điểm của $AB,CD$.

Dùng định lý về hàng điều hòa là OK

P/s: Sao khi post bài gõ chữ không được vậy ta, phải gõ ở ngoài rồi mỡi copy vào =.=

Một mở rộng khác, điều này khá thú vị

Cho $\Delta ABC$, $(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$, $E,F$ là các tiếp điểm như hình vẽ. $2$ điểm $M,N$ bất kì thuộc đoạn $AD. L,K,U,T$ là các điểm như hình vẽ. Chứng minh: $LT,KU,AD$ đồng quy.

Lưu ý: Các bạn khi post bài phải nhắn tin cho mình link bài toán đó tại Mathlinks.ro, vì có nhiều bạn không đọc Tiêu đề, nội dung của Topic này mà vào post bài không nằm trên Mathlinks.ro. Cảm ơn !

Cách khác:(Dùng cực và đối cực)

Ảnh chụp màn hình_2013-04-15_230505.png

Gọi $K$, $L$ là giao điểm của $MI$ với $AB,CD$

Khi đó ta dễ dàng chứng minh được $(NKAB)=(NLDC)=-1$ bằng cách dùng định lí Menelaus kết hợp với Ceva trong $\Delta MCD$

Từ đó ta suy ra $ML$ chính là đường đối cực của $N$ đối với $(O)$

Mà theo tính chất đường đối cực thì ta có: $ON\perp MI$

Tương tự ta cũng có:$NI$ là đường đối cực của $M$ đối với $(O)$

$\Rightarrow OM\perp NI$ 

Do đó ta có $O$ chính là trực tâm $\Delta MIN$

WTH? Đô học cực đối cực rồi cơ à =..=, thú thế =.= Kết hợp cực đối cực và Pascal có thể chứng minh được điều mới (Pascal thay vì dùng hàng điều hòa + Menelaus)

Mở rộng bài toán 10:

Không phải điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp nữa, cho $I$ chạy bất kì trên $AD$, Kẽ $IM,IN,IP$ lần lượt vuông góc $AB,BC,CA$, khi đó $AK,MP,IM$ đồng quy, với $K$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh hoàn toàn tương tự. 

Tìm tổng 3 số nguyên dương khác nhau biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$.

Nếu $c \ge 4 \to \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \le \frac{3}{4}<1$.

Nên: $c = {1,2,3}$. Thử từng giá trị, tiếp tục dùng phương pháp như trên tìm được $a,b$.

Bài này là 1 bài rất cơ bản về phương pháp xuống thang (sắp xếp thứ tự), bạn có thể tìm thấy nhiều tài liệu (các sách viết về phương trình nghiệm nguyên đều có bài tương tự thế này).

$\boxed{\text{Bài toán 10}}$ Cho $\Delta ABC$ có đường tròn tâm $(I)$ nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AC$ lần lượt tại $D,E,F$. Trung tuyến $AM$ cắt $EF$ tại $J$.Chứng minh : $D,I,J$ thẳng hàng.

Bài toán này không khó, bạn có thể nhắn tin cho mình link của nó trên Mathlinks.ro không?

Giải như sau:

Gọi $J'$ là giao điểm của $DI$ và $EF$, qua $I$ kẻ đưởng thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,N$. Ta chứng minh $J \equiv J'$ hay cần chứng minh $J' \in AM$. 

Như vậy đưa đến việc chứng minh: $J'$ là trung điểm của $PN$, từ đó theo định lý Thales có ngay $J' \in AM$.

Để ý rằng $FJ'E$ là đường thẳng Simson của $\Delta APN \to I, A,P,Q$ đồng viên.

Mà $AI$ là phân giác của góc $\angle PAN \to IP=IN \to J'$ là trung điểm của $PN$, và dẫn đến điều phải chứng minh!

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , AD giao BC tại M, AB giao CD tại N, AC giao BD tại I. Chứng minh O là trực tâm của tam giác MIN.

:| Đây chỉ là 1 tính chất quen thuộc. Chứng minh bằng cách gọi $H$ là giao điểm thứ $2$ của $(ADI)$ và $(BIC)$, khi đó $MA.MD=MB.MC \to M$ thuộc trục đẳng phương của $(AIHD),(BIHC)$. Không khó để chứng minh các tứ giác $DOHC, AOHB$ nội tiếp, từ đó: \[\angle OHM = \angle DHM-\angle DHO=\angle ADC+\angle ACD - \angle OCD = \angle ADC + \angle OCA = 1 V \to MI \perp ON\]. Tương tự $NI \perp OM \to Q.E.D$.

Ngắm tạm cái bìa này cho đỡ "vật" nhé!

BiaML.png

Ôi thầy ơi, đẹp quá ^^ À nhưng mà có cùng màu với chuyên đề ĐTTH không ta

Nhìn cái bìa đẹp quá, ráng làm thôi Mọi người cứ lo các phần khác ạ, em với Hoàn sẽ chăm cày phần Hình học, còn việc đưa vào TEX phải nhờ ai đó rồi . Tất cả các bài giải đã có trên diễn đàn, em với Hoàn sẽ cố gắng kiếm thêm, mới được chục bài à, buồn quá Gía như anh Hân tham gia thì tốt quá, bên hình mà ảnh im hơi lặng tiếng quá

Không biết có phải là "Kết nối 96 để cùng học tập" không nữa =.= 

Gửi các bạn bài viết khá hay của anh Cẩn về Chebyshev's Inequality.

 BDT Chebyshev (Võ Quốc Bá Cẩn).pdf   152.44K   275 Số lần tải

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Gọi $H$ là trực tâm $\Delta MNP$. Chứng minh rằng $O,I,H$ thẳng hàng.

Ủng hộ topic của Thịnh một bài.

 

$\boxed{\text{Bài toán 9}}$ Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M, N, P$ thứ tự là trung điểm của $BC, CA, AB$.

Qua M vẽ tiếp tuyến với $(I)$, cắt $NP$ tại $X$. Các điểm $Y,Z$ xác định tương tự trên $PM$, $MN$.

Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Nhờ gợi ý của Hoàn, xin trình bày lời giải vắn tắt:

Gọi $S$ là giao điểm của $AT$ và $BC$ với $T$ là điểm thuộc $(I)$ sao cho $DI$ là đường kính của $(I)$.

Dựng đường tròn bàng tiếp góc $\angle A$ của $\Delta ABC$, khi đó, dễ thấy, qua phép vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{AI}{AK}$ thì $ (I) \to (K); T \to S$

Nên $S$ là tiếp điểm của tiếp tuyến tại $C$ của $(K)$. Không khó để suy ra $CS=BD (=p-a)$.

Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $M$ là trung điểm của $DS$, giả sử $AS$ cắt $(I)$ tại điểm thứ $2$ là $R$, khi đó $\Delta DRS$ vuông tại $R$, có $M$ là trung điểm nên $MD=MR$, lại có $MD$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(I)$, nên $MR$ là tiếp tuyến của $(I)$, do đó $X$ là giao điểm của $MR$ và $NP$.

Dựng $(Q)$ nội tiếp tam giác $\Delta APN$, $L$ là tiếp điểm của $PN$ với $(Q)$, rõ ràng qua phép vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{AI}{AQ}$, biến $(I) \to (Q)$, từ đó cũng biến $(K) \to (O); S \to J$, do đó $J$ là tiếp điểm của $PN$ với đường tròn $(O)$.

Để ý rằng: $\Delta MRS \sim \Delta XRJ \to XR=XJ \to X$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$, tương tự ta cũng có $Y,Z$ nằm trên đường đó, cuối cùng có $Q.E.D$.

P/s: To nguyenthehoan: Bài này quá hay ^^, tks cậu đã gợi ý Vấn đề: Liệu có thể thay đổi tỉ số $M,N,P$ trên $BC,CA,AB$, không phải trung điểm nữa? 

Chào mọi người.

 

Hôm nay mình lập topic này mục đích là muốn kết bạn cùng tuổi sinh năm 1996 để có thể cùng nhau chia sẻ và học tập.

 

Mình xin tự giới thiệu về mình trước:

 

+ Mình tên : Nguyễn Văn Thường

+ Mình học tại trường thptcamly huyện Lục Nam tỉnh Bắc Giang

 

+ Sở thích: mình thích tìm hiểu về công nghệ, cách sử dụng phần mềm máy tính, thích phá hỏng máy tính xong lại bê ra quan sửa,thích ghe nhạc nước ngoài,  mình thích kết bạn cùng tuổi.......

+ Sở ghét: ghet bọn tàu khựa, ghét bọn lai tàu bọn bán nước, ghét những người việt có tài đang ra sức cống hiến cho thế giới.

+ Ước mơ: Mình ước sau này mình sẽ chế tạo được bom hạt nhân để có thể rũi sạch cỏ đất nước bọn tàu khựa, bố láo

 

 

Mình muốn kết bạn với những bạn cùng tuổi với mình. mình muốn cùng các bạn chia sẻ những bài toán hay để có thể học giỏi hơn

$\to$

Em rất ít tự sướng, ảnh cũng không có nhiều (đi thi không mang theo điện thoại + máy ảnh, để ở khách sạn )

Lúc làm xong bài toán gốc, tớ nghĩ ra một mở rộng Đối với đường tròn bàng tiếp, hình vẽ thay cho ý tưởng của tớ nhé ! 

Mình có một mở rộng cho bài toán này nè:

 

Thay vì lấy $M$ là giao của $AD$ và $(I)$ ta có thể lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ và $Y,Z$ là các giao điểm thứ nhất (hoặc thứ 2) 

 

của các tia $BM$ và $CM$ với $(I)$.Khi đó kết luận của bài toán vẫn đúng.Bạn thử chứng minh xem...

Hình vẽ thay cho ý tưởng của mình nhé, nhưng vẫn chưa có đủ thời gian để suy nghĩ, Hoàn làm tiếp thử, cậu có ý tưởng gì khác không? 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn $(x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$

Phương trình tương đương:  $x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+2xy+12x=x^2+y^2+36+12y$.

Xét với $x,y\ge 3 \to 3xy(x+y)>12(y+3); x^3+y^3>x^2+y^2$.

Chỉ còn thử với các trường hợp riêng là giải quyết xong bài toán!

Em vàng rồi còn kêu ca gì nữa, anh có bạc thôi nè 

Dạ, may mắn thôi ạ Em làm khác đáp án 3 bài là xác định điểm không cao =)) Em làm 4,5 bài mà còn nhiêu đó điểm

Có thể dùng bổ đề quen thuộc: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn. Khi đó $AD,BE,CF$ đồng quy tương đương với: $\frac{AB.CD.EF}{BC.DE.FA}=1$ để giải bài toán này!

Thực ra 2 bổ đề trên cũng chỉ là 2 cách phát biểu khác nhau, nhưng có thể là từ bổ đề này, tác giả đã sáng tạo ra bài toán của Topic và làm ẩn đi vài dữ kiện ...

Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình : $x^y+1=z$

Tức là $x,y,z$ nguyên tố hả cậu?

Ừm, thế thì giải như sau: Dễ thấy $z > 2 \to z$ lẻ $\to x$ chẵn $\to x=2$. Đưa về tìm $y$ sao cho $2^y+1$ là số nguyên tố.

Nếu $y>2 \to y$ lẻ $\to 2^y+1 \vdots 3 \to False \to y=2 \to z=5$. 

Vậy \[(x,y,z)=(2,2,5)\]

Mình có ý kiến muốn gửi tới cái MOD.

 

Hiện tại mình thấy rất nhiều bạn trong diễn đàn, và cả mình nữa, đang chuẩn bị cho kì thi ôn vào 10 nên mình có ý kiến như sau; Nhờ các mod soạn giúp tất cả các đề thi vào 10 ở link này vào một file PDF để tiện down về, in và ôn tập. Nếu được thì xin chân thành cảm ơn các MOD.

 

Linh đây; http://diendantoanho...-học-2012-2013/

Em làm tới đâu thì click tới đó, chẳng hạn hôm nay em làm đề 1, thì em click vào đề 1, down đề 1 thôi, rồi từ từ tiếp dần.

Các Mod cũng không quá rảnh rỗi để làm điều này đâu em ạ, hiện tại VMF đang có khá nhiều dự định. 

Anh Thành đã tổng hợp như vậy là có ý định rồi đó em ạ, trông bắt mắt hơn, vì tài liệu đề thi vào THPT chuyên hình như đã có nhiều sách viết, tài liệu trên mạng cũng nhiều rồi, không nhất thiết phải dành thời gian vào những việc thế này em nhé!

Còn nếu em có thời gian thì tổng hợp giúp, VMF rất hoan nghênh, vừa giúp em có kĩ năng, lại vừa tìm được nhiều đề hơn nữa! Chào em!

Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $AD$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai là $M$; $BM,CM$ cắt $(I)$ tại $Z$ và $Y$. Chứng minh rằng: $AD,BY,CZ$ đồng quy.

Diễn đàn cho em hỏi có được phép lập 1 topic để "đấu" toán và giao lưu kinh nghiệm học và giải toán không a!

"Đấu" ở đây là sao thế bạn? Bạn có thể nói rõ ý định, hình thức của topic bạn muốn lập? Nếu được BQT sẽ duyệt và có thể trở thành một hình thức "thi giải toán trên VMF" trong năm tới