Cho $a,b,c \ge 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:$$\dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{bc}{(b+c)^2}+ \dfrac{ca}{(c+a)^2} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh:

$\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y^2}}\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm . Chứng minh rằng : $$OI \ge OG$$

Em nghĩ vậy không biết sai sót gì xin chỉ báo giúp em.

Đặt $\sqrt{2+\sqrt{x}}=a\geq 0$ ; $\sqrt{2-\sqrt{x}}=b$
Ta có $ab=\sqrt{4-x}$
PT $\Leftrightarrow \frac{a^2}{\sqrt2+a}+\frac{b^2}{\sqrt2-b}=\sqrt2$
$\Rightarrow \sqrt2(a^2+b^2-2+ab)-ab(a-b)=2(a-b)$
$\Rightarrow \sqrt2(2+ab)=(2+ab)(a-b)$ chú ý $a^2+b^2=4$
Đến đây thì đơn giản rồi.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x=3

Để hâm nóng lại topic này mạn phép đăng lên một số bài để các em lớp 9 ôn tập thi vào lớp 10 CHUYÊN và KHÔNG CHUYÊN.
ĐỀ BÀI:
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(7+x)(2-x)}=3$

b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$

c) $x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt3}{3}\sqrt{x^2+x^2+1}$

d) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1-x)^3}-\sqrt{(1+x)^3} \right)=2+\sqrt{1-x^2}$

e) $\dfrac{4x}{x^2+x + 1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1$

f) $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=2$

Bài 2. Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn điều kiện phương trình:$ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 $ có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $H=a^2+b^2$.

Bài 3. Các số $\alpha, \beta$ thỏa mãn đẳng thức sau:$$\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1, \beta^3-3\beta^2+5\beta=5$$ Hãy tính $C=\alpha+\beta$

Bài 4. Cho phương trình: $2(x^2-1)=x(px+1)$
a) Tìm $p$ để phương trình nhận $x=1$ làm nghiệm.
b) Tìm $p$ để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 5. Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng: $$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$$

Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 ; x^2+a_2x+b_2=0$$

Bài 7. Biết $a, b$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+mx+1=0$ & $b, c$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+qx+2=0$
Chứng minh rằng: $(b-a)(b-c)=pq-6$

Bài 8. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^3-3x=y^3-3y \\ x^6+y^6=1 \end{matrix} \right.$

Bài 9. Cho $ \triangle ABC$ vuông tại $A$, $AD$ là phân giác $(D\in BC)$. Cho $AB=c, AC=b$. Chứng minh rằng: $AD=\dfrac{\sqrt2bc}{(b+c)}$

Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]

---

Treo thưởng: Bạn nào đưa ra lời giải đúng và sớm nhất sẽ nhận được một thẻ nạp điện thoại trị giá 20k. Hỗ trợ cho tất cả các mạng di động kèm theo đó là một phần quà khác (xin giữ bí mật) .

Đây chỉ mang giá trị tinh thần nên các bạn cứ thoải mái nhé.

Chấm bài: Chấm bài từ dưới lên trên. Tức là, xem kết quả, nếu kết quả đúng thì chấm tiếp phần trên, còn không thì miễn xem tiếp (đọc nhiều mỏi mắt ấy mà)

Trình bày rõ ràng bằng $\LaTeX$

Khi giải bài nhớ kèm theo số ĐT nhé. Mình sẽ tự động gửi cho người thỏa mãn các yêu cầu trên sau đó công bố kết quả.

Nhanh tay nào.

Em vừa định giải thì anh Phạm Hữu Bảo Chung làm rồi nên thôi post vài ý cho vui vậy.
Đầu tiên cho em hỏi có phải vì anh Phạm Hữu Bảo Chung thấy tổng của tử và mẫu đều bằng nhau nên mới cộng 5 vào hai vế rồi mới áp dụng BĐT Schwarzt không ạ?
Em thì cũng thế nhưng để khỏi vướng mắt ta làm như sau:
Nhận thấy điểm rơi là $x=1$ ta đặt ẩn phụ rồi mới dùng BĐT. Đặt $a=2, b= \sqrt x+1, c=x+1, d= x\sqrt x+1, e=x^2+1 $ đến đây thì làm được rồi.

có gì để cãi nhau????? kq là 9 đấy thui (tính theo cách chúng ta được dạy hồi lớp...2 hoặc bấm máy tính đều là 9)
còn bác Giang kiu bấm máy tính kq = 1 chắc là do bác í mún...cãi lỗn

Đúng rồi đấy ạ. Kết quả chính xác là 9. Khi dùng máy tính fx-570MS thì nó lại cho một vì nó đòi hỏi dấu ngoặc chứ không được "thông minh" như đàn anh 570ES đâu.

Em nghĩ là bài của anh chỉ cần dựa vào giả thiết tìm được bốn pt bốn ẩn và sau đó giải hệt pt bốn ẩn bậc một ấy thì ta tìm được kết quả đúng không nhỉ?

Giải phương trình sau:$$ \sqrt{x}-2\sqrt{5x-x^2+\sqrt{5-x}}=1 $$

Chứng minh rằng: $$D=\displaystyle \frac{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cot^2\alpha}+\displaystyle \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cot\alpha}$$ không phụ thuộc vào $\alpha$.

Rút gọn:$$P=\displaystyle \frac{\left(1+\cot^2x\right)\left(\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}\right)\tan x}{1+\tan^2x}$$

Chứng minh đẳng thức sau:$$ \displaystyle \frac{1-\cos x}{\sin x}\left[\displaystyle \frac{\left(1+\cos x\right)^2}{\sin^2 x}-1\right]=2\cot x $$

Hãy tính: $$C=\displaystyle \frac{3\sin^2\displaystyle \frac{19\pi}{6}-2\cos^2\left(\displaystyle \frac{-8\pi}{3}\right)}{2\sin\displaystyle \frac{5\pi}{6}\cos\displaystyle \frac{5\pi}{3}}$$

Cho $\cos\alpha=\displaystyle \frac{-3}{4}$ và $-\pi<\alpha<\displaystyle \frac{-\pi}{4}$. Tính $$A=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\sin\alpha-\tan\alpha+\displaystyle \frac{2}{3\cos\alpha}}{\cos\alpha-2\sin\alpha-\displaystyle \frac{3}{5}\cos\alpha}$$

Tìm $a$ và $b$ để bất phương trình: $$(x-a+2)(b-x+2)\geq0$$ có tập nghiệm $[-1;3]$

Giả sử ta có đường thẳng $\Delta$ cắt $(d1),(d2)$ lần lượt tại $B$ và $C$ để tam giác $ABC$ đều

ta có $AB=AC=BC=a$

theo cách gọi như vậy ta có $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$

mà theo giả thiết : $S_{ABC}=3\sqrt{3}$
Từ đó, ta có :

$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$<=>$ $a=\sqrt{12}$

Từ đó ta suy ra $AH=\frac{\sqrt{12}.\sqrt{3}}{2}=3$

Xét trong tam giác đều $ABC$ có phương trình cạnh $AB$ và $AC$ viết phương trình phân giác góc $A$:

$\frac{|\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2|}{2}=\frac{\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}-2}{2}$

$=>$ $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}-2$ hoặc $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+2$

$<=>$ $y-2=0$ hoặc $x-1=0$

Giả sử phương trình đường phân giác trong góc $A$ hay phương trình cạnh $AH$ là: $x-1=0$

Từ đó dễ thấy phươg trình của $\Delta$ có dạng là: $y+c=0$
Mà khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là bằng $AH$ và bằng $3$
Áp dụng công thức khoảng cách ta có:

$\frac{|y+c|}{1}=3$ (thay $y$ của $A$ vào)

$=>$ $c=1$ hoặc $c=-1$

ta có 2 phương trình của $\Delta$ là $y+1=0$ hoặc $y-1=0$

• Xét $\Delta$ : $y+1=0$

Dễ dàng tìm được tọa độ của $B$ là nghiệm hệ $(d1)$ và $\Delta$:
$B(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}};-1)$
Tương tự : $C(\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}};-1)$

Với tọa độ này bạn tự thay công thức và thử dễ thấy phương trình cạnh $AH:x-1=0$ chính là phân giác trong góc $A$

• Xét $\Delta$ : $y-1=0$ tương tự

Vậy: có 2 phương trình cạnh $\Delta$ thỏa mãn đề bài

$\Delta:y+1=0$ và $\Delta_{2}:y-1=0$ (như hình vẽ nhé ! )

Giả sử ta có đường thẳng $\Delta$ cắt $(d1),(d2)$ lần lượt tại $B$ và $C$ để tam giác $ABC$ đều

ta có $AB=AC=BC=a$

theo cách gọi như vậy ta có $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$

mà theo giả thiết : $S_{ABC}=3\sqrt{3}$
Từ đó, ta có :

$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$<=>$ $a=\sqrt{12}$

Từ đó ta suy ra $AH=\frac{\sqrt{12}.\sqrt{3}}{2}=3$

Xét trong tam giác đều $ABC$ có phương trình cạnh $AB$ và $AC$ viết phương trình phân giác góc $A$:

$\frac{|\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2|}{2}=\frac{\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}-2}{2}$

$=>$ $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}-2$ hoặc $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+2$

$<=>$ $y-2=0$ hoặc $x-1=0$

Giả sử phương trình đường phân giác trong góc $A$ hay phương trình cạnh $AH$ là: $x-1=0$

Từ đó dễ thấy phươg trình của $\Delta$ có dạng là: $y+c=0$
Mà khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là bằng $AH$ và bằng $3$
Áp dụng công thức khoảng cách ta có:

$\frac{|y+c|}{1}=3$ (thay $y$ của $A$ vào)

$=>$ $c=1$ hoặc $c=-1$

ta có 2 phương trình của $\Delta$ là $y+1=0$ hoặc $y-1=0$

• Xét $\Delta$ : $y+1=0$

Dễ dàng tìm được tọa độ của $B$ là nghiệm hệ $(d1)$ và $\Delta$:
$B(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}};-1)$
Tương tự : $C(\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}};-1)$

Với tọa độ này bạn tự thay công thức và thử dễ thấy phương trình cạnh $AH:x-1=0$ chính là phân giác trong góc $A$

• Xét $\Delta$ : $y-1=0$ tương tự

Vậy: có 2 phương trình cạnh $\Delta$ thỏa mãn đề bài

$\Delta:y+1=0$ và $\Delta_{2}:y-1=0$ (như hình vẽ nhé ! )

Anh ơi em còn có một bài hình nữa anh chém giúp em luôn với

Tìm $m$ để bất phương trình $(x^{2}+2x)^{2} + 3x^{2}+6x-m\geq 0$ có nghiệm đúng $\forall x \in $ $[-2;0]$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, lập phương trình đường tròn © có bán kính $R=2$, có tâm $I$ nằm trên đường thẳng $(d_1): x+y-3=0$ và đường tròn đó cắt đường thẳng $(d_2):3x+4y-6=0$ tại hai điểm $A, B$ sao cho $\widehat{AIB}=120^o$.

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(d_1): \sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=0$ và $(d_2): \sqrt{3}x+y-\sqrt{3}-2=0$. Lập phương trình đường thẳng $(\Delta)$ cắt hai đường thẳng $(d_1), (d_2)$ lần lượt tại $B, C$ sao cho $\triangle ABC$ đều có diện tích bằng $3\sqrt{3}$, trong đó đỉnh $A$ là giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$.

Xác định tham số $m$ để hệ phương trình: $$ \left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{y}(\sqrt{x}+3)=19-m\\ y +\sqrt{x}(\sqrt{y}+3)= 21+m \end{array} \right. $$ có nghiệm.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P= \frac{\sqrt{a^3c}}{\sqrt{b^3a}+bc} + \frac{\sqrt{b^3a}}{\sqrt{c^3b}+ac} + \frac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+ab} $$trong đó $a, b, c$ là ba số thực dương tùy ý

Cho $ 3\sin (x+20^o)-2\cos (x+110^o)=3 $ và $ -20^o<x<70^o $. Tính $ \cos (70^o-x) $; $ \cos(200^o+x) $

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng \[ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 \]

---------
Chào bạn ! Bạn đã đặt sai tiêu đề.
Bạn nên đọc những bài viết sau trước khi gửi bài nhé.

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

Lần này mod sửa giúp bạn, nếu bạn còn tái phạm thì bài viết sẽ bị xóa mà không báo trước.

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực từng đôi một khác nhau thì $$ \displaystyle \frac{a^2}{(b-c)^2}+\displaystyle \frac{b^2}{(c-a)^2}+\displaystyle \frac{c^2}{(a-b)^2}\geq2 .$$

Em cũng không rõ lắm vì em cũng nghĩ phương trình bậc 2 thì hai nghiệm nhỏ nhất là thế nào được? Mà bạn em thì có đứa nói S nhỏ nất hay P nhỏ nhất mà em nghĩ thì chưa hẳn nên đăng lên để mọi người cùng thảo luận ạ.