ban chung minh cac dang thuc nay duoc khong, minh muon biet tai sao lai nhu vay..

Đây , mình giải thích cho :
Ta có :
$(1)=1.2 +2.3+3.4+....+n(n+1) =\frac{1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+.....+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]}{3}$
$=\frac{1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+....+n(n+1)(n+1)-(n-1)n(n+1)}{3} =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$(2)=1^2 +2^2+3^2 +...+n^2 =1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+....+n(n+1-1)=1.2-1+2.3+3.4-3+....+n(n+1)-n=1.2+2.3+...+n(n+1) -(1+2+3+..+n)$
$=(1)-\frac{n(n+1)}{2} =n(n+1)(n+2)-\frac{n(n+1)}{2}=DPCM$
$(3)=1^3 +2^3+....+n^3=1^2.(2-1)+2^2.(3-1)+....+n^2.[(n-1)-1]=1^2.2+2^2.3+....n^2.(n+1)-(1^2+2^2+...+n^2)$
$=1.2(1+0)+2.3.(1+1)+...+n(n+1)[1+(n-1)]-(2) =[1.2+2.3+3.4+4.5+...+n(n+1)]+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]-(2)$
$=(1)-(2)+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]=(1)-(2)+\frac{1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+....+(n-1)n(n+1)[(n+2)-(n-2)]}{4}$
$=(1)-(2)+\frac{1.2.3.4-0+2.3.4.5-1.2.3.4+....+(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n(n+1)}{4}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} -\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}$
$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}=(\frac{n(n+1)}{2})^2$
$(4)=1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n[n-(n-1)]=n(1+2+3+...+n)-(1.2+2.3+...+n(n-1)=\frac{n^2.(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$
$=\frac{n^2.(n+1)}{2} -\frac{n(n-1)(n+1)}{3}=\frac{3n^2.(n+1)-2n(n-1)(n+1)}{6} =\frac{n(n+1)[3n-2(n-1)]}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Bài 133: Cho $\triangle ABC$ có $\angle B=45^o$. Kẻ đường cao $AH$ và phân giác $BD$. Chứng minh $HD // AB$ biết rằng $\angle ADB=45^o$.

CHém nhanh nào
Từ D kẻ $DJ \perp AC$
Dễ thấy $\angle ADB =\angle BDJ =45^o$
$\rightarrow \Delta ABD = \Delta JBD:(\text{g-c-g})$
$\rightarrow AD =DJ$
$\rightarrow \Delta ADJ :\text{vuông cân}$
Mà dễ dàng CM$ ADJH :\text{tứ giác nội tiếp}$
$\rightarrow \angle AHD =45^o (1)$
Mà$ \Delta ABH$ có$ \angle AHB =90^o$ và$ \angle ABH =45^o$
$\rightarrow \Delta ABH :\text{vuông cân}$
$\rightarrow \angle BAH =45^o(2)$
từ$ (1)$ và$ (2) \rightarrow DPCM$

Bài 27: Cho đoạn thẳng MN = 4 cm, điểm O nằm giữa M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45độ. Tìm vị trí của O để AB có độ dài nhỏ nhát. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

P/s: Dạo này các pan ít poss bài quá nhj?

Chém nào
Bài làm:
Dễ thấy$ AB^2 =AO^2 +OB^2 :\text{(py-ta-go)}$
$\rightarrow AB^2 =MO^2 +NO^2 :\text{tam giác cân}$
$\rightarrow 2AB^2 =(1+1)(MO^2 +NO^2) \geq (MO+NO)^2$
$\rightarrow AB^2 \geq \frac{MN^2}{2}$
$\rightarrow AB \geq \frac{MN}{\sqrt{2}}:\text{const}$
Vậy $AB_{Min} =\frac{MN}{\sqrt{2}}$
Dấu "$=$" sảy ra $\leftrightarrow MO =NO$
$\leftrightarrow O :\text{trung điểm MN}$

Bài này dễ:
Cho xy cắt AB ở K,AC ở H.
Ta có :
$\frac{BB'}{AA'}=\frac{BK}{AK},\frac{CC'}{AA'}=\frac{CH}{AH}\Rightarrow \frac{BB'+CC'}{AA'}=\frac{BK}{AK}+\frac{CH}{AH}=\frac{AB}{AK}-1+\frac{CH}{AH}-1=\frac{AB}{AK}+\frac{CH}{AH}-2$
Từ B,C vẽ BJ,CI // xy (I,J thuộc AG) .Cho BC cắt AG tại M => MB=MC
=> MI=MJ
Vậy ta có $\frac{BB'+CC'}{AA'}=\frac{AB}{AK}+\frac{CH}{AH}-2=\frac{AJ+AI}{AG}-2=\frac{2AI+IJ}{AG}-2=\frac{2AI+2IM}{AG}-2=\frac{2AM}{\frac{2}{3}AM}-2=3-2=1\Rightarrow AA'=BB'+CC'(Q.E.D)$
Đây là hình vẽ

sao anh chém tởm vậy
Cách khác:
kẻ $ MI \perp B'C'$
$\rightarrow MI =\frac{BB' +CC"}{2}$
Dễ thấy$ \Delta AA'G$ ~ $\Delta MIG$
$\rightarrow \frac{AA'}{MI} =2$
$\rightarrow AA' =BB' +CC'$
_________________
@Mod: học đâu cái kiểu chửi cách làm người ta rồi khi bị phản bác lại đổi đen thành trắng thế ?
Chú ý cách ăn nói
Cảnh cáo lần 1 /!\

Bài 25: Cho $\triangle ABC$, $BC=2AB$, $MB = MC$, $DM = BM$ ($M,D$ \in BC$)
CMR: $AC = 2AD$.

Nói chung là M là TĐ BC và D là trung điểm BM
Bài làm:
Theo tính chất đường trung tuyến cho $\Delta ABM$ và $\Delta ABC$
$\rightarrow AD^2 =\frac{2(AB^2 +AM^2)-BM^2}{4} =\frac{2AM^2+AB^2}{4}$
$\rightarrow AM^2 =\frac{2(AB^2 +AC^2) -BC^2}{4} =\frac{AC^2 -AB^2}{2}$
$\rightarrow AD^2 =\frac{AB^2 +AC^2 -AB^2}{4} =\frac{AC^2}{4}$
$\rightarrow AD =\frac{AC}{2}$

b) Cho tứ giác ABCD $\angle A=\angle C=90^{o}$
Kẻ $DE\perp AC$, $BF\perp AC$ Chứng minh: AF=CE

Bài làm
Dễ thấy $\Delta ADE$ ~ $\Delta BAF$ và $\Delta CED$ ~ $\Delta BFC$
$\Rightarrow AE .AF =DE .BF =EC.CF$
$\Rightarrow \frac{AE}{CF}=\frac{EC}{AF}$
Dễ thấy Nếu $CF =AF$ thì $AF=CE$
Nếu$ CF \neq AF$ thì $\frac{AE}{CF}=\frac{EC}{AF} =\frac{AC}{AC}=1 \Rightarrow DPCM$

Bài 15
Lời giải
Xét $\Delta AGF$và $\Delta ACE $có
$\frac{CE}{GF} =\sqrt{2} =\frac{AC}{AG}$
và $\angle ACE =\angle AGE =90^o +45^o =135^o$
$\rightarrow \Delta AGF$ ~ $\Delta ACE $
$\rightarrow \angle AFG =\angle CEA$
$\rightarrow DPCM$
(p/s , mọi người chê bài dễ ak =))

Bài 17:(cách của anh L)
Lấy $MI \cap AB =N$
vẽ $BL \perp DB ,L \in DC$
Dễ dàng cm:$ ANMD :\text{hình bình hành}$
Sau đó cm:$BNCM :\text{hình bình hành}$
TIếp đó cm:$ABLC :\text{Hình bình hành}$
$\rightarrow$ $DM =AN=BN+AB=MB+CL=ML$
Mà $\Delta DBL$ vuông tại B với MD=ML
$\rightarrow BM=ML=DM$
$\rightarrow DPCM$

Bài 20: Cho $\Delta ABC$( AB<AC), phân giác AD, Từ D vẽ đường vuông góc BC cắt AC tại M. Tính $\angle MBD$

Bạn xem lại đề đi, thiếu điều kiện rồi

Bài 17: (Lớp 8)
Cho hình thang ABCD ( AB//CD); AC vuông góc BD. Qua trung điểm I của BC kẻ đường song song với AD cắt DC tại M. Chứng minh:
tam giác BMD cân

Mở rộng bài 17 cho anh em :
Cho hình thang ABCD ( AB//CD); AC vuông góc BD. Qua trung điểm I của BC kẻ đường song song với AD cắt DC tại M
DA$ \cap CB$ ={H}
BD $\cap AC$ ={O}
BM$\cap AC$={J}
M dx G qua I
a, CM HO //BM
b, CM KJ //MI
(p/s cái này cũng có thể làm và học như bổ đề )

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Mình ham bài dễ quá
Dễ tháy
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right ) =abc +a+b+c+ab+bc+ca +1 \geq 3\sqrt[3]{abc} +3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc+1 =(1+\sqrt[3]{abc})^3$

Góp vui 2 bài :
Hình học cực trị
Bài 133
Cho (O,R) và (O',R') qua O . AB là dây cửa (O) và tiếp xúc với (O') tại C
Tìm Max $(BC^2 +AC^2)$ Theo R và R'
Bài 134
Cho hình vuông ABCD .cạnh a
Vẽ (C,a).E, F $\in$ AB , AD sao cho EF tx (C,a)
TÌm Max $S_{EFC}$ theo $a$

Bài 96:
Bài làm:
Dễ thấy $(O)$ là đường tròn bàng tiếp $\Delta SEF$
$\rightarrow \angle SOA =\angle SOD$
$\rightarrow \angle SOE +\angle EOA =\angle SOB +2\angle BOF$
$\rightarrow 2\angle EOS +\angle SOB=\angle SOB +2\angle BOF$ $:\text{Vì:$\angle EOB =\angle EOA$}$
$\rightarrow \angle SOE =\angle BOF$
Ta Gọi J là giao điểm của SO và AB ,ta nối JF
Dễ thấy $\angle BFO +\angle BOF =90^o (1)$
mà $\angle EOS =\angle EOJ =\angle BOF$
Thêm với$ \angle PJB +\angle EOJ =\angle AJO +\angle EOJ =90^o (2)$
Từ $(1)$ và $(2) \rightarrow \angle PJB =\angle BFO :\text{cùng phụ với $ \angle BFO$}$
$\rightarrow \text{tứ giác} BJOF :\text{tứ giác nội tiêp} :\text{điều chủ chốt}$
$\rightarrow \angle FJO =\angle FBO =90^o$
Đến đây có vẻ mọi truyên thoả mái hơn rồi:
Dễ thấy:
$MN \perp PE \rightarrow \angle MNE =\frac{\angle SFE}{2} +\frac{\angle FSE}{2} (3)$
Mà $\text{Tứ giác}: PNJF$ có$ \angle PNF =\angle PJF =90^o$
$\rightarrow \text{Tứ giác}: PNJF :\text{tứ giác nội tiếp}$
$\rightarrow \angle FNJ =\angle JPF =\frac{\angle SFE}{2} +\frac{\angle FSE}{2} :\text{góc ngoài}(4)$
Từ $(3)$ và$ (4) \rightarrow \angle MNE =\angle JNF$
$\rightarrow N ,M ,J :\text{thẳng hàng}$
Và từ đó , ta có thể nói $SO ,MN ,AB :\text{đồng quy}$

Đề nghị mọi người đã post bài lên đây vào cập nhật lời giải.
Bài 106: Cho tam giác $ABC$. $M$ là điểm nằm trong $\triangle ABC$. Gọi $D$ là giao điểm $AM$ và $BC$. $E$ là giao điểm $BM$ và $CA$, $CM$ giao $AB$ tại $F$. . Đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ cắt $DE,DF$ lần lượt tại $I,K$.
CMR: $MI=MK$.

Kẻ Từ $A$ kẻ $d$ // $BC \cap DF,DE =X,Y$
Ta cần phải chứng minh: $AX=AY$
Dễ Thấy
$\frac{AX}{BD}=\frac{AF}{BF}$
$\frac{CD}{AY}=\frac{CE}{AE}$
$\Rightarrow \frac{AX}{AY}.\frac{CD}{BD}=\frac{AF}{BF}.\frac{CE}{AE}$
$\Rightarrow \frac{AX}{AY}=\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1$
Từ XêVa $ \Rightarrow DPCM$

Mình xin up 1 bài cho topic thêm sôi động nhỉ
Bài 100 ( số đẹp )
Cho 2 đg tròn O và O` ngoài nhau . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB (A thuộc O, B thuộc O`) vẽ các tiếp tuyến chung trong cắt AB tại C, D .CMR: AD=BC
------------------------------------------
Khuyến khích tìm cách ngắn nhất

Bài 70 (Lớp 7). Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=30^0$, H là trực tâm, M là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia MH lấy điểm T sao cho MH = MT. CMR: AT = 2BC.

Chém nốt bài của chú theo cách lớp 7 và lớp 9 :
Cách lớp 7:
Dễ thấy$ MHCT : \text{hình bình hành}$
$\rightarrow CT // BM ; HC //BT$
$\rightarrow TC \perp AC ; TB \perp AB$(*)
Lấy L là trung điểm AT
$\rightarrow LB=LC=LT=LA$
Gọi$ \angle BAL =a$
$\angle CAL =b$
$\rightarrow a+b=30^o$
Dễ thấy $\angle ABL = a$ và $\angle LCA =b$
$\rightarrow \angle BLT = 180^o -2(90^o -a)=2a$
$\rightarrow \angle TLC = 180^o -2(90^o -b)=2b$
$\rightarrow \angle BLC =2(a+b)=60^o$(**)
Mà $\Delta BLC$ có $BL =CL$$ \rightarrow \Delta BLC: \text{là tam giác đều} \rightarrow BC=LC=\frac{1}{2}AT$
------------------------------------------
Lời giải lớp 9
Từ$ (*) \rightarrow ABTC :\text{tgnt}$
$\rightarrow \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BLC$ ( góc ở tâm và góc nội tiếp)
$\rightarrow \angle BLC =60^o$
Rồi tiếp (**)
-----------------------------------

Bài 62:
cho $\Delta ABC$ cân tại A , $\angle A=20^o$
Kẻ phân giác $\angle B $$ \cap$ Đường thẳng qua C //AB ={I}
Nối AI
Kẻ đường thẳng CE // AI $\cap AB$ ={E} .
Tính góc $\angle BEC$

Bài 57: Cho $\triangle ABC:\text{ cân tại A}$. $\angle B = \angle C = 40^o$. Trên $AB$ kéo dài về phía $B$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = BC$. Tính $\angle AMC$.

Cách khác :
Vẽ đường tròng ngoại tiếp $\Delta ABC$ tâm O
$\rightarrow \angle OCG = 10^o$
$CO \cap AB ={M'}$
Dễ dàng CM $\angle AMC =30^o$
Kẻ $OH \perp OM' $
Dễ thấy $AGHC :\text {tgnt}$
$\rightarrow GH // AC$
$\rightarrow AGHC :\text{hình thang cân}$
$\rightarrow AH =\frac{1}{2} BC$
Mà $M'A =2AH$( dễ dàng cm)
$\rightarrow AM'=BC \rightarrow$ M trùng M'
$\rightarrow DPCM$
(mình chậm vãi)

Bài 57: Cho $\triangle ABC:\text{ cân tại A}$. $\angle B = \angle C = 40^o$. Trên $AB$ kéo dài về phía $B$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = BC$. Tính $\angle AMC$.

Đề có bị lẻ quá ko??

triethuynhmath: Bạn đọc không kĩ đề rồi là kéo dài về phía B mà?

Lời giải bài 68:
Trên tia đối của $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $EC = BC$.
Dễ dàng chứng minh $\triangle ENB:\text{ đều }$
Dễ thấy $\angle ABN = 30^o$
$\Rightarrow \angle EBA = 60^0 - 30^o= 30^o$
$\Rightarrow AB$ là trung trực của $EN$
$\Rightarrow \angle ANE = \angle AEN = 10^o$
$\Rightarrow \angle ANB =\angle AEN + \angle ENB = 10^o + 60^o = 70^o$
___________
Hình như đêm hôm qua có làm bài này rồi @@!

Có vẻ sai rồi bạn àk
Lệnh 0,01 thì có vẻ không ảnh hưởng đến cả 10 độ nhỉ ??
Nhầm J với N
_________

Rất tiếc là sai rồi anh ạ . $\angle ACB = 75^o$ cơ

Cậu sai thì có =))

Bài 85: Cho $\triangle ABC$ có phân giác $BD=CE$. Chứng minh $\triangle ABC:\text{ cân tại A}$.

Cách khác :
Đại số hoá nào ^^
Bài làm:
Ta có công thức tính đường phân giác:
$\rightarrow BE =\frac{\sqrt{ac(a+b+c)(a+c-b)}}{a+c}$
$\rightarrow CD =\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$
Theo giả thiết $\rightarrow BE =CD$
$\rightarrow \frac{\sqrt{ac(a+b+c)(a+c-b)}}{a+c}=CD =\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$
$\rightarrow \frac{\sqrt{c(a+c-b)}}{a+c} =\frac{\sqrt{b(a+b-c)}}{a+b}$
$\rightarrow \frac{c(a+c-b)}{(a+c)^2}=\frac{b(a+b-c)}{(a+b)^2}$
$\rightarrow (a^2+2ab+b^2)(ca+c^2-cb)-(a^2+2ac+c^2)(ab+b^2-bc)=0$
$\rightarrow a^3c +a^2c^2-a^2cb+2a^2bc+2abc^2-2ab^2c+b^2ac+b^2c^2 -b^3c-(a^3b+a^2b^2-a^2bc+2a^2bc+2ab^2c-2abc^2+c^2ab+c^2b^2-bc^3)=0$
$\rightarrow a^3(c-b)+a^2(c-b)(c+b)+ 2abc(c-b)+2abc(c-b)-abc(c-b)+bc(c-b)(c+b)=0$
$\rightarrow (c-b)(a^3 +a^2c+a^2b+ 3abc+b^2c+bc^2)=0$
Mà $(a^3 +a^2c+a^2b+ 3abc+b^2c+bc^2) >0$
$\rightarrow b=c$
$\rightarrow \Delta ABC \text{cân tại A}$

Kết thúc seri tính góc của BlackSelena
Lấy M' là trung điểm AC , J là trung điểm BC
$\text{Lấy I Đối xứng L qua M}$
ta có :
$KA=\frac{1}{2}C'A =\frac{1}{2} AB=M'J$
$AL=B'M' :\text{(là đường cao trong tam giác đều)}$
$\angle KAL =60^o +30^o +\angle BAC=90^o +\angle JM'C=\angle JMB'$
$\rightarrow \Delta KAL =\Delta JM'B'$
$\rightarrow KL =JB'(1)$
Bên cạnh đó:
vì I đối xứng L qua M và M' là trung điểm JC
$\rightarrow \Delta JIM =\Delta CLM$
$\rightarrow IJ =LC=LB'$
$\rightarrow IJB'L :\text{hình bình hành}$
$\rightarrow JB' =IL(2)$
Từ $(1) $và$ (2) \rightarrow IL=KL$
$\rightarrow KL=2ML(3)$
Mà từ
$\Delta KAL =\Delta JM'B'$
$\rightarrow \angle M'B'J =\angle ALK$
Ta có : $\angle ALK +\angle MLC$
$=\angle M'B'J +\angle JB'L=30^o$
$\rightarrow \angle KLM =90^o -30^o =60^o(4)$
Từ $(3)$ và$ (4) \rightarrow \Delta KML :\text{là nửa tam giác đều}$
$\rightarrow \angle MKL =30^o ;\angle KML =90^o ;\angle KLM=60^o$

Bài 73: Lấy A,B,C thẳng hàng $(AB\neq BC)$. Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng các tam giác vuông cân ABE(AE=EB), BCD(BD=DC). S là giao điểm AD và CE, H là giao điểm DE và BS. F là trung điểm DE. Đường thẳng vuông góc AC tại B cắt DE tại K. Tìm hệ thức liên hệ giaữ hai tỉ số $\frac{KE}{KD}$ và $\frac{KH}{KF}$

Mình chưa hiểu đè bài cho lắm
Dễ tháy $\angle EBk =\angle DBK$ và dễ dàng cm (BS $\perp$ ED)
$\rightarrow \frac{KE}{KD} =\frac{BE}{BD}=\frac{HB}{HD}(1)$
ta dễ dàng cm :$\angle HBK =\angle KBF$
$\rightarrow \frac{KH}{KF} =\frac{BH}{BF}(2)$
Lấy (1) chia (2) $\rightarrow \frac{KE}{KD}.\frac{KF}{KH} =\frac{BF}{HD}$
$\rightarrow \frac{KE}{KD}=\frac{BF}{HD}.\frac{KH}{KF}$
-------------------------------------------
không biết có đúng không????????
-------------------------------------------

Và như vậy với kết quả của bạn cũng đã chấm dứt câu b bài 34 mà bác binhmetric đã ấp ủ từ lâu nhưng không có ai giải quyết:
Và bây giờ mình xin post 1 bài khác:
Bài 86:Cho (O) cố định và dây AB không qua tâm cố định.C chuyển động trên cung nhỏ AB.Gọi M là trung điểm BC.Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại H.
1. CMR:MH luôn luôn đi qua 1 điểm cố định.
2.Tìm đường di chuyển của M khi C di động trên cung nhỏ AB.
3.Quên,bonus thêm 1 câu: Xác định vị trí điểm C sao cho BH đạt GTLN

a( cách khác)
từ B kẻ $BG \perp AB \cap HM ={G}$
Nối OG
Dễ dang CM$ \Delta AIH $~$ \Delta GIB$
$\rightarrow \angle JGB =\angle CAB=\angle MOB(1)$
Dễ dàng CM $MBGO :{tgnt}$ ( do (1))
$\rightarrow \angle OMG =\angle OBG $
$\rightarrow BOG =\angle GMB=\angle GMH$
Dễ thấy $\angle OMG =\angle HCM$
$\rightarrow \angle OBG =\angle HCM$
$\rightarrow \angle OGB =90^o$
$\rightarrow G \text{const}$
b, lấy J là trung điểm của AB
Ta có $OJ \perp AB$(t\c)
mà$OM \perp CM (t/c)$
$\rightarrow OJMB:{tgnt}$
$\rightarrow M$ chuyển động trên đường tròn đường kính OB
Giới hạn
nêu C trùng A thì M trùng J
Nếu C trùng B thì M trùng B
Vậy M truyển động trên đường trong đường kính OB trên cung JB
c, có vẻ là C trùng A thì $HB_{ \text{MAX}}$