Đóng góp cho topic 1 bài:
CMR: Phương trình $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}=0$ không có nghiệm.

Bài 7. Cho p là số nguyên tố thỏa mãn $p\equiv 1~(mod~6)$, đặt $q=\left \lfloor \frac{2p}{3} \right \rfloor$. CMR: Nếu $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(q-1).q}=\frac{m}{n};~m,n~\epsilon ~Z^+$ thì $p~|~m$

Đặt
$$a=6k+1(k\in N)\Rightarrow q=\left \lfloor \frac{2p}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{12k+2}{3} \right \rfloor=\left \lfloor 4k+\frac{2}{3} \right \rfloor=4k+\left \lfloor \frac{2}{3} \right \rfloor=4k$$
Thay vào phương trình ta được
$$\frac{m}{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(4k-1)4k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{4k})=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+...+\frac{1}{4k}$$
$$\Leftrightarrow \frac{m}{n}=\frac{6k+1}{(2k+1)4k}+\frac{6k+1}{(2k+2)(4k-1)}+...$$
$$\Rightarrow m\vdots 6k+1\Leftrightarrow m\vdots p$$ (ĐPCM)

Sau đây là một vài gợi ý cho Bài 1 và Bài 2:

Bài 1:
a) $A=20032003...2003=2003.10^{4.9998}+2003.10^{4.9997}+...+2003.10^{4.1}+2003=2003.10000^{4.9997}+2003.10000^{4.9996}+...+2003.10000+2003$
b) Đặt $(a,b)=d$

Bài 2:
Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Bài 2:
a) $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2\Leftrightarrow \sqrt{2x+1+2\sqrt{(2x-1)(2x+1)}+2x-1}+\sqrt{2x+1-2\sqrt{(2x-1)(2x+1)}+2x-1}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left | \sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1} \right |+\left | \sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1} \right |=2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{2x+1}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2x+1}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{2}$
b) Phân tích vế trái tương tự câu a), sau đó giải và biện luận theo yêu cầu đề bài.

P/s: Mấy câu hình ngại vẽ hình, mong bạn nào làm được rồi thì post đáp án cho mọi người tham khảo.

Ta có :

$\frac{1}{A}=\frac{2-x}{2}+x=\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1\\
Do: 0<x<2 => 0<\frac{x}{2}<1
=> \frac{1}{A}\leq 1+1=2\\
=> MinA=\frac{1}{2}<=> x=1$

Đây là một nhầm lẫn hết sức nguy hiểm.
$\frac{1}{a+b}\neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$
Chính vì vậy, $\frac{1}{A}\neq \frac{1}{\frac{2}{2-x}}+\frac{1}{\frac{1}{x}}= \frac{2-x}{2}+x$
Bài làm của caybutbixanh sai từ bước đó.

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.

Mình xin giải nốt câu cuối cùng của đề trước khi post đề mới.
Đây là bài toán dựng hình, vì vậy phải có đủ 4 phần: Phân tích, Cách dựng, Chứng minh và Biện luận.
Nhưng mình sẽ chỉ làm phần Phân tích và Cách dựng thôi, mong mn thông cảm.

Phân tích:
Giả sử $\Delta ABC$ đã dựng được thỏa mãn yêu cầu đề bài:
$AM=m,BN=n$ (trong đó $AM,BN$ là các trung tuyến của $\Delta ABC$) và $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta thấy, nếu hạ $BH$ vuông góc xuống $AM$, thì $S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABM}=2.\frac{1}{2}.AM.BH=AM.BH\leq AM.BG=m.\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}.m.n=const$
Vậy $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $BH\perp AM\Leftrightarrow BN\perp AM$ tại $G$.

Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng $AM$ có độ dài $m$.
- Dựng điểm $G$ trên đoạn $AM$ sao cho $AG=\frac{2}{3}m$.
- Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $AM$ tại $G$.
- Dựng các điểm $B,N$ trên $d$ về 2 phía so với $AM$, sao cho $BG=\frac{2}{3}n,GN=\frac{1}{3}n$.
- Dựng điểm $C$ là giao điểm của $AN$ và $BM$.
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cần dựng.

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 1:(4 điểm)
a) Gọi $A$ là tích $2002$ số tự nhiên $k$ khác $0$ đầu tiên. Ta chia $A$ lần lượt cho $1;2;3;...;2002$ được các thương tương ứng là $A_1;A_2;A_3;...;A_{2002}$. Chứng minh rằng tổng $(A_1+A_2+A_3+...+A_{2002})$ chia hết cho $2003$.
b) Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$ và $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng trong hai số $(p^n+1)$ và $(2p^n+1)$có ít nhất một số là hợp số.

Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình
$$x^2+(a-2b-2)x+(a-2b-7)=0$$
trong đó $a\geq 3$ và $b\leq 1$. Hãy tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm của phương trình có thể đạt được.

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình
$$x+1=\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1})}}$$

Bài 4: (4 điểm)
Trong hình chữ nhật kích thước $7$ cm x $10$ cm, ta đặt $7$ điểm khác nhau một cách hú họa. Chứng minh rằng luôn tìm được $2$ điểm trong $7$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $5$ cm.

Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2002 - 2003

Bài 1: (4 điểm)
a) Nếu viết liên tiếp $9999$ số $2003$ ta được số mới $A=20032003...2003$. Hãy tìm số dư trong phép chia $A$ cho $9999$.
b) Cho $a,b$ là các số tự nhiên khác $0$ và $a^2+b^2\vdots ab$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $\frac{a^2+b^2}{ab}$.

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2$
b) Tìm các giá trị của $m$ đề phương trình sau có nghiệm:
$$\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=4x^2-2x+2+m^2$$
Hãy tính nghiệm của phương trình trong trường hợp có nghiệm.

Bài 3: (4 điểm)
Cho $0 < x < 2$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.

Bài 4: (4 điểm)
Cho $10$ điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều có cạnh là $2 cm$. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ điểm trong $10$ điểm đã cho, $3$ điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Là tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}cm^2$ và có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng $45^o$.

Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn $(O ; R)$ và một dây $AB$ cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Gọi $P$ là điểm chíng giữa cung nhỏ $AB$. Đường thằng $d$ quay quanh $P$ nhưng luôn cắt đoạn $AB$ tại điểm $N$ $(N\neq A,B)$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Gọi $I$ là điểm nằm trên đoạn $BM$ sao cho $BI=\frac{1}{3}BM$.
a) Chứng minh rằng $AP$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
b) Hãy dựng đường thẳng $d$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm $I$ đến hai đường thẳng $AO$ và $AP$ là nhỏ nhất.

Lưu ý: Nếu có thắc mắc về đề, mong mọi người nhắn tin cho mình sớm nhất để sửa chữa. Mong mọi người tham gia nhiệt tình!

Bài 1:
a) Ta có
$A=20032003...2003=2003.10^{4.9998}+2003.10^{4.9997}+...+2003.10^{4.1}+2003=2003.10000^{4.9997}+2003.10000^{4.9996}+...+2003.10000+2003$
Mặt khác, ta lại có:
$10000\equiv 1(mod9999)$
Do đó, ta có:
$S\equiv 2003+2003+2003...+2003(mod 9999)$($9999$ số $2003$).
Vậy $S\equiv 0(mod 9999)$
b) Giải như cách của minhhieukaka.

e xin đóng góp mấy bài mong các anh vào đây cho ý kiến cùng lời giải :
Bài 1 :Tìm a $\epsilon Z$ để $\sqrt{a^{2}+a+23}$ thuộc Q

Theo mình, bài này có thể đổi đề thành "Tìm a để $\sqrt{a^{2}+a+23}$ thuộc Q" thì sẽ hay hơn. Các bạn làm thử nhé!

33. Chứng minh rằng: $\exists n\in \mathbb{N}$ thoả mãn $13579^n-1\vdots 3^{13579}$.

Xét $3^{13579}$ số có dạng $13579, 13579^2,...,13579^{3^{13579}}$ ta có thể dễ dàng nhận thấy có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho $3^{13579}$ (do không có số nào chia hết cho $3^{13579}$).
Ta xét hiệu 2 số đó thì dễ dàng có đpcm.
(sorry mn, ngại ko muốn viết dài dòng nên làm tắt)

Bài 10: Cho hai lũy thừa: $2^n$ và $5^n$ với $n\in N^*$.
a) Hãy tìm $n$ nhỏ nhất để $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên.
b) Chứng minh rằng nếu với $n$ nào đó mà $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên thì chữ số đầu tiên ấy là duy nhất.

Với $n=5$ thì $2^n=32, 5^n=3125$ suy ra $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu.
Giả sử $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu là $a (1\leq a\leq 9)$. Giả sử $2^n$ có k chữ số, $5^n$ có m chữ số.
Ta có:
$$a.10^{k-1}< 2^n< (a+1).10^{k-1}$$ và $$a.10^{m-1}< 5^n< (a+1).10^{m-1}$$
$$\Rightarrow a^2< 10^{n-k-m+2}< (a+1)^2\Rightarrow 1\leq n-k-m+2< 2 (1\leq a\leq 9)\Rightarrow n-k-m+2=1\Rightarrow a^2< 10< (a+1)^2\Rightarrow a=3$$

P/s: Đây là bài 3 đề thi vào 10 chuyên toán CVA và HN-Amsterdam năm 1993.
----
$L$: Trích dẫn bài cho tiện theo dõi nhé bạn

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----

Spoiler

Bài này dành riêng cho chủ thớt :-" lập thớt ra mà chưa vô chém với mọi người

Với $p=3$ thì $q=2$.
Với $q=3$ thì $p^2=19$ vậy không tồn tại p.
Với p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì
$p^2\equiv 1(mod 3); 2q^2\equiv 2(mod 3)\Rightarrow p^2-2q^2\equiv 2(mod 3)$
mà $p^2-2q^2=1$
Suy ra vô lí.
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn là $(3;2)$

Bài 15: Tìm $x,y,z$ là các số nguyên tố sao cho $x^y+1=z$.

Hình như topic chưa vượt qua khủng hoảng yên ắng nên mình xin post một bài
Bài 25: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b,c,d$ thì tích $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) \vdots 12$
P.s: Một tuần không post bài mà như là cả mấy năm trời vậy '+_+

Trong 4 số a, b, c, d có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tích sẽ chia hết cho 3.
Trong 4 số a, b, c, d có ít nhất 2 cặp số cùng tính chẵn lẻ nên có ít nhất 2 hiệu chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 4.
Vậy ta có đpcm.

Bài 28: Tìm số tự nhiên $n$ để $1^n+2^n+3^n+4^n \vdots 5$

Bài này chưa thấy ai làm nên chém thử vậy.
* Nếu $n$ là số lẻ thì ta có $(1^n+4^n)+(2^n+3^n)\vdots 5$ (chọn).
* Nếu $n$ là số chẵn thì $n$ có dạng $n=2^k.i$ (với $k$ là số tự nhiên khác 0 và i là số lẻ).
- Với $k=1$ thì $$1^{2.i}+2^{2.i}+3^{2.i}+4^{2.i}=1^i+4^i+9^i+16^i=(1^i+4^i)+(9^i+16^i)\vdots 5$$ (chọn)
- Với $k\geq 2$ thì $$1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4.2^{k-2}.i}+2^{4.2^{k-2}.i}+3^{4.2^{k-2}.i}+4^{4.2^{k-2}.i}=1^{2^{k-2}.i}+16^{2^{k-2}.i}+81^{2^{k-2}.i}+256^{2^{k-2}.i}\equiv 1+1+1+1(mod 5)\equiv 4(mod 5)$$ (loại)

Vậy các số tự nhiên $n$ thỏa mãn là các số có dạng $n=2j+1$ ($j$ là số tự nhiên) và $n=1^{2.i}+2^{2.i}+3^{2.i}+4^{2.i}$($i$ là số tự nhiên lẻ).

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

$$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}= \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
Ta có đpcm

Câu 6: (1 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2013 điểm phân biệt sao cho với ba điểm bất kì trong 2013 điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1007 điểm trong 2013 điểm đã cho (hình tròn ở đây kể cả biên)

Mình mạn phép chém thử câu này, mọi người xem đúng ko:
Trong các đoạn thẳng tạo bởi 2013 điểm, ta có thể chọn ra đoạn thẳng dài nhất, giả sử là AB.
TH1: Nếu AB<1 thì tất cả các đoạn thẳng còn lại đều <1, lấy A hoặc B làm tâm, dựng đường tròn có bán kính là 1, ta có đpcm.
TH2: AB>1
Với mọi điểm C trong điểm còn lại, ta có AC<1 hoặc BC<1 (do trong 3 điểm bất kỳ luôn có 2 điểm tạo thành 1 đoạn thẳng <1).
Theo nguyên tắc Đi-rích-lê, có ít nhất 1006 điểm sao cho độ dài các đoạn thẳng tạo bởi các điểm ấy với A hoặc B <1. (giả sử là điểm A).
Vẽ đường tròn tâm A, bán kính 1cm thì ta có đpcm.

mình xin góp cách khác cho câu 1.1
Ta có: $n^{5}+5n^{3}-6n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10(n-1)n(n+1)$
Từ đây có thể dễ dàng suy ra đpcm.

bạn ơi có thể giải đáp giúp mình tại sao lại suy ra được như trên không? $\sqrt{x-\sqrt{x^2 - 1}}.\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}} +1 = 2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$

Nhân cả 2 vế của đẳng thức với $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$ bạn ạ.

4) $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2\Rightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}.\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+1=2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\sqrt[4]{(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}})^2}-2.\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+1=0\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}.\sqrt{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}}-2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+1=0$
Đặt $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=a$ thì $a\sqrt{a}-2a+1=0$
Đặt tiếp $\sqrt{a}=b\Rightarrow b^3-2b^2+1=0\Leftrightarrow (b-1)(b^2-b-1)=0$
Từ đây ta tính được b, thay vào tính a, rồi lại thay vào tính x.
Bạn phải thêm vào điều kiện thích hợp của x,a,b để loại bỏ các trường hợp ko thỏa mãn.

7) $x^2 +\sqrt{m+x}=m$

Đặt $a=\sqrt{m+x}\Rightarrow a^2=m+x\Leftrightarrow x=a^2-m\Leftrightarrow x^2=a^4-2a^2m+m^2$
Thay vào phương trình ta có
$a^4-2a^2m+m^2+a=m\Leftrightarrow m^2-m(2a^2+1)+a^4+a=0$
Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 với ẩn m, tính m theo a rồi thay $a=\sqrt{x+m}$ để tìm ra x theo m.
Chú ý điều kiện.
P/s: Hình như bài dạng này đã có nhiều trên diễn đàn vs rất nhiều cách giải hay, bạn có thể tìm kiếm và tham khảo.

Bài của bạn Dramons Celliet về thuật toán là đúng rồi. Chỉ còn thiếu sót nhỏ đó là bạn quên không in kết quả ra màn hình:
Chỉ cần sủa câu lệnh
writeln ('ket_qua_la:');

thành
writeln ('ket_qua_la:',S);

P/s: Cả chỗ này nữa nhé:
for i:= 2 to n do S:= S+2*i;
Đã sửa lại rồi đó. Chương trình viết nhầm, thảo nào bạn k hiểu.

thiếu rồi kìa còn điều kiện của n nữa cơ.Nên bổ sung thêm :chữ màu đỏ

while (n<2) or ( n>200) do
begin
writeln(' nhap lại n= '); readln (n);
end;

Theo mình khi kiểm tra điều kiện để nhập lại cho đúng, các bạn nên dung vòng lặp repeat until thì hay hơn.

Theo mình, dùng vòng lặp While .. do ... để kiểm tra điều kiện là hay nhất.
Nếu sử dụng repeat ... until ... thì chương trình sẽ chạy vòng lặp đó ít nhất 1 lần rồi mới kiểm tra điều kiện lặp.