Bài 1: Cho x,y$\leq$ 1 và x+y$\leq$ 4 Tìm:
Min M= ($\frac{x^{4}}{y-1})^{^{3}}$ + ($\frac{y^{4}}{x-1})^{3}$

Bài 2: Cho x,y dương thỏa mãn:($\sqrt{x}$+1)($\sqrt{y}$+1) $\geq$ 4
Tìm Min P=$\frac{x^{2}}{y}$ + $\frac{y^{2}}{x}$

Bài 3: Cho $\frac{1}{2}$ $\leq$ x $\leq$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
Tìm Max của A= $3\sqrt{2x-1}+ x\sqrt{5-4x^{2}}$

Bài 4: Cho a,b,c >0 và abc=1
Chứng minh M=$\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3} + \frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} + \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \leq \frac{1}{2}$
____________________
Chú ý tiêu đề
+ Cách đặt tiêu đề để không bị ra đảo
+ Tra cứu công thức toán

Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM.Gọi N là điểm đối xứng với M qua AD, K là giao điểm AN với BC. CM: $\frac{KB}{KC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Cho tam giác ABC , AD là phân giác trong của $\widehat{A}$. Trên cạnh AD lấy 2 điểm M và N sao cho $\widehat{MBA}= \widehat{NBD}$ . CM $\widehat{MCA}= \widehat{NCD}$

---------

@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề hợp lí tại đây bạn nhé.

1.Cho $0\leq a,b,c\leq 1$
Tìm Min, Max : P = a+b+c-ab-bc-ca

2. Cho a,b,c>0 và a+b+c=27
Tìm a,b,c sao cho ab+bc+ca đạt GTLN

3.Cho n $\epsilon$ N và n >0
CMR: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{3^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}< 1,65$

4. Cho x,y,z thỏa mãn: xyz=1, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z$
CMR : Trong 3 sốx,y,z có 1 số là lớn hơn 1

1. CMR PT: $2x^{2}-4y^{2}= 10$ không có nghiệm nguyên

2.Tìm nghiệm nguyên của PT: $x\left ( x^{2} +x+1\right )= 4y\left ( y+1 \right )$

3.Tìm gt nguyên x,y TM đồng thời:
$x+y\geq 25$
$y\leq 2x+18$
$y\geq x^{2}+4x$

4.Tìm số nguyên x,y,z TM:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}< xy+3y-3$

5.Tìm nghiệm nguyên của PT:
2(x+y+z)+y=3xyz

6.Tìm nghiệm nguyên của PT
$x^{2}+\left ( x+y \right )^{2}= \left ( x+9 \right )^{2}$

7.Tìm nghiệm nguyên của PT
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}= 3$

1. Cho $\Delta ABC$(AB<AC). AD.AM là đường phân giác,đường trung tuyến của tam giác ABC. Đường thẳng qua D và vuông góc với với AD cắt AC tại E
So sánh S $\Delta ADM$ và S$\Delta CEM$

Ch 2 đường thẳng ox,oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O . Trên ox lấy về hai phía của O hai đoạn thẳng OA=4cm; OB=2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA, MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là TĐ của AC , F là TĐ của BD.
a) CMR: ME + MF = $\frac{1}{2}$ (AC+BD)
b) Đường thẳng CF cắt ox tại P. CM: P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường trung trực của AB

Bài 1 sao x lẻ lại suy ra điều vô lí vậy bạn
Bài 2 sao 2$\vdots$ UCLN(2k+1,4k$^{2}$+1) mình ko hiểu đoạn này còn lại thì hiểu rồi

Tiếp nhá:
a) Cho x,y $\epsilon$ N . Tìm GTLN của A = $\frac{x}{x+y}+\frac{y}{8-(x+y)}$
b) Cho x,y,z>0, x+y+z=1. Tim Min B=$\frac{x+y}{xyz}$

Bài này quy luật là thế nào nhỉ?

Có thể là sai để để mình hỏi lại

Tìm Min y=$x^{3}-6x^{2}+21x+18$
Với $-\frac{1}{2}\leq x\leq 1$

CMR: Nếu n$\epsilon$Z thì:
$\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ là số nguyên tố

Thêm: CMR: Nếu 3 số TN m,m+k,m+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k$\vdots$6

Cho a,b dương và $a^{2000}+b^{2000}= a^{2001}+b^{2001}= a^{2002}+b^{2002}$
Tính $a^{2011}+b^{2011}$

Bài này quy luật là thế nào nhỉ?

Sửa rồi bạn

gửi cho mình link với

Nhận thấy x=0 là 1 nghiệm thỏa mãn.
Với x khác 0 thì:
$x\geq 1$
PT đã cho tương đương với:
$\sqrt{x^3}=\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}$
Áp dụng BĐT C_S ta có:
$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}\leq \sqrt{2x^2-2}$
Ta sẽ chứng minh:
$2x^2-2<x^3$
Nhưng BĐT này đúng vì theo Am-Gm ta có:
$\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+2\geq \frac{3}{\sqrt[3]{2}}.x^2>2x^2$
Do đó:
VP<VT
KẾT LUẬN: PT có nghiệm duy nhất x=0

Chỗ Áp dụng BĐT C_S ta có:
$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}\leq \sqrt{2x^2-2}$
em ko hiểu cho lắm, sao lại ra dấu căn

Đây,mình giải thích cho:
Theo buniacopsky ta có $(\sqrt{x^2-x} +\sqrt{x-1})^2 \leq (\sqrt{x^2-x})^2 +(\sqrt{x-1})^2 =\sqrt{x^2 -1} =\sqrt{2x^2 -2}$
$\rightarrow \sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}\leq \sqrt{2x^2-2}$

à hóa ra là BĐT Bu-nhi-a-cop-xki mình cứ tưởng là BĐT Cô-si

Cho a,b,c > 0, a+b+c=6
Tìm Min A = $\left ( \frac{1}{a^{2}}+1 \right )\left ( \frac{1}{b^{2}}+1 \right )\left ( \frac{1}{c^{2}} +1\right )$

Cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}$
C/m : $\frac{x^{3}}{2x+3y+5z}+\frac{y^{3}}{3x+5y+2z}+\frac{z^{3}}{5x+2y+3z}$ $\geq \frac{1}{30}$

Cho số TN a=$\left ( 2^{9} \right )^{2009}$ , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c.Tìm d?

Cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}$
C/M A = $\frac{x^{3}}{2x+3y+5z} + \frac{y^{3}}{3x+5y+2z} +\frac{z^{3}}{5x+2y+3z}$$\geq \frac{1}{30}$

Giả sử D là 1 điểm nằm trong tam giác ABC nhọn sao cho $\widehat{ADB}= {90^{\circ}} + \widehat{ACB}$ và $AC.BD= AD.BC$ . Tính tỉ số $\frac{AB.CD}{BD.AC}$

Cho đoạn thẳng AB , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ Ax, By . Ax, By vuông góc với AB lần lượt tại A và B .Ax lấy M, By lấy N, AB lấy O, $\widehat{MON}$ $= 90^{\circ}$. Tìm M, N để S tam giác MON nhỏ nhất

Câu 2 dễ hơn mình tưởng :
$S_{MON} =\frac{MO.ON}{2}$
Mà $MO \geq OJ$
$ON \geq OK$
$\rightarrow S_{MON} \geq \frac{OJ.OK}{2} :\text{const} (\text{do AB ,Ax ,By ,O:const})$
$\rightarrow (S_{MON})_{MAX} = \frac{OJ.OK}{2} $
Dấu $= $sảy ra $\leftrightarrow M$ là chân đường vuông góc hạ từ O xuông Ax và N là chân đường vuông góc hạ từ O xuông By

Chết mình ghi nhầm để , thảo nào nhìn hình thấy lạ
Ax, By vuông góc với AB lần lượt tại A và B

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
A$= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
B $= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
2.Cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
$Q= \frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$
3. Cho a,b,c>0 ; CMR:$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

1.Tìm x,y,z $\epsilon N^{*}$ . TM
$\frac{x-y\sqrt{2012}}{y-z\sqrt{2012}} \epsilon Q$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố

2.Cho a,b,c là các số hữu tỉ. CM
$\sqrt{\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}}\epsilon Q$

Gợi ý
1. 2 bước chứng minh
$B_1$: $\frac{x-y\sqrt{2012}}{y-z\sqrt{2012}} \in Q$
Suy ra $y^2=xz$
(Sử dụng tính chất vô tỷ hữu tỷ bằng cách đưa về SHT.SVT=SHT)
$B_2$: $x^2+y^2+z^2=(x+z)^2-y^2-2xz=(x+z)^2-y^2=(x-y+z)(x+y+z)$
Ta có: $x+z-y \ge 2 \sqrt{xz}-y =y \ge 1$
$x+y+z >1$
Do vậy $x^2+y^2+z^2 \in P \Rightarrow x+z-y=1 \Rightarrow x=y=z=1$
2. Bạn tham khảo tại đây
Thay $A=a-b;B=b-c$ thì $A+B=a-c$

cái bái 1 sao lại suy ra được $y^{2}= xz$ hả bạn? bạn nói rõ hơn được ko?

Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BD và CE lần lượt lấy M và N sao cho $\widehat{AMC}= \widehat{ANB}= 90^{\circ}$. Hỏi tam giác AMN là tam giác gì?