Với mọi số thực x,y thỏa mãn điều kiện $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$

Tìm GTLN và GTNN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$

Đặt $t=xy$. Từ giả thiết ta có $xy=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}(x+y)^{2}\geq -\frac{1}{5}$

Mặt khác $xy=\frac{1}{3}-2(x-y)^{2}\leq \frac{1}{3}$.

Viết lại $P=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}}{2xy+1}=\frac{\frac{(t+1)^{2}}{4}-2t^{2}}{2t+1}=f(t))$

Xét hàm f(t), với $-\frac{1}{5}\leq t\leq \frac{1}{3}$, đạo hàm lập BBT tìm được GTLN và GTNN.

Mình nghĩ đề phải thế này mới đúng:

Cho 2 số thực dương x, y thỏa: $3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=x+y+2$

Tìm GTNN của $P=(\frac{x^{4}}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}}-3xy)(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}$

 

Mình giải luôn nhé:

Biến đổi giả thiết (Để ý rằng ẩn của P nên chọn là $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

$3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=2+x+y+\frac{3}{x}+\frac{3}{y}\geq 2+2\sqrt{(x+y)(\frac{3}{x}+\frac{3}{y})}=2+2\sqrt{3(\frac{2}{y}+\frac{y}{x})+6}$

Tìm đk của t:  $3t\geq 2+2\sqrt{3t+6}\Rightarrow 9t^{2}-24t-20\geq 0\Rightarrow t\geq \frac{10}{3}$

$P=(\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}})-2(\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}})+(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+6$

$\Rightarrow P=t^{4}-2t^{3}+3t+4, t\in [\frac{10}{3};+\infty )$

Đến đây là OK rồi, bạn tự giải tiếp nhé !

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa $(xz+y)(xy+z)-x^{2}z^{2}=4y^{2}$ và $xz\geq 2y$. 

Tìm GTLN $P=(1+\frac{y}{xz})^{2}+(\frac{xz+y}{zx-y})^{2}$

Bài ??? : Cho $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$

Từ giả thiết suy ra $(a+b+c)^{2}=2(a^2+b^2+c^2)\neq 0$

Đặt: $x=\frac{4a}{a+b+c}; y=\frac{4b}{a+b+c}; z=\frac{4c}{a+b+c}$

* Khi đó có $$\left\{\begin{matrix} & x+y+z=4 & \\ & xy+yz+zx=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & y+z=4-x & \\ & ya=x^2-4x+4 & \end{matrix}\right. \Rightarrow (4-x)^{2}\geq 4(x^2-4x+4)\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{8}{3}$$

 

Suy ra $P=\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^{3}}=\frac{1}{32}(3x^3-12x^2+12z+16), x\in [0;\frac{8}{3}]$

Xét hàm trên tìm được $minP=P(0)=0,5  ;   maxP=P(\frac{2}{3})=P(\frac{8}{3})=\frac{11}{18}$

 

Vậy thì số có 5 chữ số phải phân biệt

 

Ta có $C_{10}^5$ cách chọn ra 5 chữ số phân biệt, với mỗi cách chọn ấy chỉ có duy nhất 1 số thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Suy ra tổng có 252 số

 

Mà ở đây tính cả chữ số 0 đứng đầu. Vậy nên ta phải trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự trường hợp này có $C_9^4=126$ số

 

Vậy, số có 5 chữ số trong mỗi số chữ số sau lớn hơn chữ số liền trước là 252-126=126 số

 

Theo mình thì số các số có $5$ chữ số khác nhau là $9.9.8.7.6=27216$ chứ

 

 

Theo mình làm thế này là ngắn gọn nhất!

Gọi số cần lập dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Vì a1<a2<a3<a4<a5 nên a1, a2, a3, a4, a5 thuộc tập {1;2;3;....9}. Mỗi cách chọn 5 số thuộc trên cho ta duy nhất một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Vậy có $C_{9}^{5}=126$ cách.

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.

các pro giúp với

Dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số trong số đó phải chia hết cho 9.

Mặt khác ta thấy 9 không thể phần tích thành tổng của 5 chữ số tự nhiên khác nhau nào cả cho nên không có số mà có 5 chữ số chia hết cho 9.

Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, $SO\perp mp(ABCD)$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa MN và  (ABCD) là 60.

a. Tính MN và SO

b. Tính góc giữa MN và (SBD).

Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD.

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI vuông góc (SCD), SJ vuông góc (SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH vuông góc với AC

c) Gọi M là một điểm trên đường thẳng CD sao cho: BM vuông góc với SA. Tính AM theo a

Giải:

a/  Dễ dàng tính được $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}; IJ=a$

Ta có: $SI^{2}=SC^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{SC^{2}}{2}\Rightarrow SC=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow SJ=\frac{SC}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$

Ta thấy: $SI^{2}+SJ^{2}=\frac{2a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2=IJ^{2}$ nên tam giác SIJ vuông tại s

Khi đó $SI\perp CD (do SI\perp AB) \wedge SI\perp SJ\Rightarrow SI\perp (SCD)$

$SJ\perp AB \wedge SJ\perp SI\Rightarrow SJ\perp (SAB)$ (dpcm)

b/ Theo câu a ta có $AB\perp (SIJ)\Rightarrow AB\perp AH SH\perp AB \wedge SH\perp IJ\Rightarrow SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp AC$ (dpcm)

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng gia tốc với pt $a=3t+t^2$. Tìm quãng đường vật đi dc sau 10s kể từ lúc tăng tốc.

Ta có $v=\int adt=\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+c$

Tại t=0 ---> v=10, suy ra c=10, suy ra $s=\int_{0}^{10}(\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+10)dt=\frac{4300}{3}$

Tìm m để phương trình $x^3-(2m+1)x^2 +(3m+1)x -(m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.

Chứng minh rằng số cách sắp xếp cho n người quanh 1 bàn tròn là (n-1)!

 

Bài này mình thấy trong SBT 11 khá hay nhưng không hiểu tại sao lại có kết quả như vậy, ai chứng minh rõ ràng cho mình với

 

Nếu xếp $n$ phần tử vào một bàn tròn, 2 cách xếp khác nhau bởi một phép quay coi như là 1. Nguyên nhân dẫn đến điều đó chính là vai trò của các phần tử là như nhau, dù xếp kiểu gì cũng chỉ là 1 cách. Để giải quyết vấn đề đó, ta cố định lại một vị trí trên bàn tròn ( 1 điểm đặc biệt duy nhất ), và sắp xếp $n-1$ phần tử còn lại. Do đó số hoán vị của n phần tử khi xếp vào một bàn tròn sẽ là $(n-1)!$ 

Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của B trên AC; M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh $BM\perp MN$

Mình giải tóm tắt thôi nha.
Gọi $K$ là trung điểm của $BH$.
$MK=\frac{1}{2}AB$ và $MK // AB$
Mà $AB \perp BC$ nên $MK \perp BC$ $=> K$ là trực tâm của $\Delta BMC$
$=> CK\perp BM$ ($1$)
Mặt khác: $MK//DC=>MK //NC, MK=\frac{1}{2}CD=NC$ nên $MKCN$ là hình bình hành $=> CK//MN$ ($2$)
Từ ($1$) và ($2$) $=> BM$ vuông góc với $MN$

Mình muốn giải theo phương pháp Tích vô hướng của 2 vector!!!

"Hãy cho tôi một điểm tựa tôi sẽ nâng cả Trái Đất lên". Câu nói nổi tiếng của $Archimède$. Liệu ông ấy có làm được điều mà ông ấy đã nói không?

Vấn đề là không có điểm tựa như vậy, thành ra Archimedes nói cũng như không

Giả sử có điểm tựa rất vững chắc và có một cánh tay đòn đủ dài và cứng để thực hiện

Cái n` ở cuối bài moment ông thầy mình có nói là theo lý thuyết thì đc nhưng khoảng cách cánh tay đòn sẽ rất rất rất dài .

Đúng là cánh tay đòn cần rất rất dài và điểm tựa của nó phải rất gần với Trái Đất. Nghĩa là cung tròn mà nó vạch ra là rất dài.(Một phép tính đơn giản cho thấy khi nâng Trái Đất lên chỉ 1 cm thì đầu kia phải di chuyển một cung dài khoảng 1 000 000 000 000 000 000). Theo tính toán cho rằng các các điều cần để thực hiện giả sử đủ thì thời gian để đi hết cung tròn đó là khoảng 1 000 000 000 000 000 000 000 giây hoặc 3 vạn tỷ năm! $Archimède$ dành suôt đời dài dằng dặc của mình cũng chưa "nâng được Trái Đất" lên một khoảng bằng bề dày của một sợi tóc !!!
Vậy điều mà $Archimède$ nói là không thể thực hiện

Câu 3: 

Ta có DKXD $cosx\neq 0$

pt tương đương $1+\frac{sinx}{cosx}=2(sinx+cosx) \Leftrightarrow (sinx+cosx)(1-2cosx)=0 \Leftrightarrow tanx=-1; cosx=0,5$

Suy ra $x=\frac{-\pi }{4}+k\pi ; x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:2x+y+5=0$ và $A(-4;8)$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$, biết rằng $N(5;-4)$.

 

Ta có $C(t;-2t-5)$

$I$ là trung điểm của $AC$, có $I(\frac{-4+t}{2};\frac{-2t+3}{2})$. Trong HCN ABCD có $IA^2=IC^2$, thay số ta được $t=1$

Dễ dàng tìm được $C(1;-7) \Rightarrow B(-4;-7)$

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x-y=0$. Đường tròn $\left ( C \right )$ có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $\Delta$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=4\sqrt 2$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại một điểm thuộc tia $Oy$. Viết phương trình đường tròn $\left ( C \right )$.

 

Theo GT dễ dàng tìm được $IH=\sqrt{2}\Rightarrow cos(AIH)=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow MI=5\sqrt{2}\Rightarrow MH=4\sqrt{2}$. M thuộc Oy nên $M(0;y)$

pt $MI: x+y+c=0\Rightarrow M(0;-c)$

Có $MH=d(M;\Delta )=\frac{\left | c \right |}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2} \Rightarrow c=\pm 8$

Suy ra I(t; -t-8) hoặc I(t; -t+8)

$d(I;\Delta )=\frac{\left | t+t+8 \right |}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow t=-3 \vee t=-5$

+) t=-3, suy ra I(-3; -5)

+) t=-5 suy ra I(-5; -3)

pt: $(x+3)^2+(y+5)^2=10 \vee (x+5)^2+(y+3)^2=10$

$\Leftrightarrow 3x^{3}-3x^{2}-3x=1$
$\Leftrightarrow 4x^{3}=(x+1)^{3}$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$

Sử dụng công thức Cardano cũng được đó !!!

Ủng hộ cho có chú caybutbixanh một bài vậy

Bài toán:

Oxi hóa 0,08 mol một ancol đơn chức, thu được hỗn hợp X gồm  một axit cacboxylic, một anđehit, ancol dư và nước. Ngưng tụ toàn bộ X rồi chia làm 2 phần bằng nhau. Phần 1 cho tác dụng hết với Na dư, thu được 0,504 lít khí hidro (dktc). Phần hai cho phản ứng tráng bạc hoàn toàn thu đc 9,72 gam bạc. Phần trăm khối lượng ancol bị oxi hóa là bao nhiêu ???

Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y=x^4-4x^3+2x^2+4x+3 (x\in \left [ -1;2 \right ])$

Mình cũng không rõ nữa cứ thế giá trị x =-1 hoặc x=2 vào là được vì x thuộc [-1;2], cái này thầy cô không ai dạy hết

Bài giải chi tiết.
Ta biến đổi được $y=(x^2-2x)^2-(x^2-2x)+3$
Đặt $t=x^2-2x$, với $x\in \left [ -1;2 \right ]\Rightarrow -1\leq t\leq 3$
Suy ra $y=t^2-2t+3$ có GTNN là 2 khi t=1 suy ra x=1
và GTLN là 6 khi t=3 suy ra x=-1 hoặc x=3

Giải như sau:
Xét đạo hàm:$f'(x)=4x^3-12x^2+4x+4=0\Leftrightarrow$ $x=1$ hoặc $x=1\pm \sqrt{2}$ mà do $x\epsilon [-1,2]$ nên các nghiệm này đều thoả mãn
So sánh 4 giá trị $f(1),f(2),f(1+\sqrt{2}),f(1-\sqrt{2})$ có ngay đáp số.

Mình có biết dùng đạo hàm nhưng đây là bài kiểm tra học kì lớp 10 thì sao mà dùng đạo hàm được bạn !!! Bạn còn cách nào nó 10 hóa được không ???

mọi người cho em hỏi mạch đối xứng có những tính chất gì ạ

và cả mạch cầu nữa

+) Mạch đối xứng thì có điện thế ở các nút đối xứng với nhau thì bằng nhau do đó ta có thể chập các điểm đó lại với nhau.

+) Mạch cầu: Có thể phân chia làm 3 dạng: Mạch cầu cân bằng, mạch cầu ko cân bằng và mạch cầu tổng quát.

-) Dòng qua cầu bằng không khi và chỉ khi tỉ lệ điện trở theo hàng ngang bằng nhau (phải có hình nói mới dễ).

-) Mạch cầu có 1 (2) (3)điện trở bằng ko hoặc có điện trở đg chéo bằng 0. Cả CB và kCB đều tương đối dễ.

-) Mạch cầu tổng quát, cái này giải hơi dài hơn và nản 1 tí. Có 3 phương pháp giải cơ bản (đối với hs khá giỏi lớp 9): PP điện thế nút, pp hệ pt với số pt tương ứng vế số dòng và pp chuyển mạch. Lên lớp 10 ta có pp Kiếc-xốp khá giống pp hệ pt số dòng nhưng nó tổng quát hơn....

P/s: Chắc cu cậu đang tính thi chuyên lí chắc mà hỏi mấy cái nầy???