bài1:Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R,trọng tâm G.tìm vị trí điểm P để biểu thức http://latex.codecog...rac{3PG^2}{R^4}đạt giá trị bé nhất
bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ,I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.IA,IB,IC cắt (O) tại D,E,F.(khác A,B,C).Chứng minh rằng:
http://latex.codecog...9}{S\Delta ABC}
bài 3:Cho tam giác ABC,trọng tâm G,điểm lemoine L(giao của 3 đường đối trung).Chứng minh rằng:
http://latex.codecog...c{LC}{GC}\leq 3
lovemoon nội dung
Có 88 mục bởi lovemoon (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
#371898 Các bài toán về vecto
Đã gửi bởi
on 23-11-2012 - 20:58
trong
Hình học phẳng
#392702 $\sum \frac{x^{3}}{y^{3}+8...
Đã gửi bởi
on 03-02-2013 - 08:15
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh :
$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$
với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$.
$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$
với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$.
#392732 $cosA.cosB\leqslant sin^{2}\frac{C}{2...
Đã gửi bởi
on 03-02-2013 - 09:47
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
ta có: $cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$$cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$(bất đẳng thức AM-GM)Cho $\Delta ABC$. CMR: $cosA.cosB\leqslant sin^{2}\frac{C}{2}$
$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$
$= 2sin\frac{C}{2}cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 2sin\frac{C}{2}$( vì$cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 1$)
suy ra$\left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}\leq sin^{2}\frac{C}{2}$
suy ra DPCM
#392734 $cosA.cosB\leqslant sin^{2}\frac{C}{2...
Đã gửi bởi
on 03-02-2013 - 09:53
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
mấy chỗ viết giống nhau là do mình paste 2 lần nhé,ko có j khác đâuta có: $cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$$cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$(bất đẳng thức AM-GM)
$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$
$= 2sin\frac{C}{2}cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 2sin\frac{C}{2}$( vì$cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 1$)
suy ra$\left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}\leq sin^{2}\frac{C}{2}$
suy ra DPCM
#393043 chứng minh bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 04-02-2013 - 09:27
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$x,y,z>0,x\dotplus y\dotplus z= 3$
chứng minh:$x^{3}\dotplus y^{3}\dotplus z^{3}\geq x^{3}y^{3}\dotplus y^{3}z^{3}\dotplus z^{3}x^{3}$
chứng minh:$x^{3}\dotplus y^{3}\dotplus z^{3}\geq x^{3}y^{3}\dotplus y^{3}z^{3}\dotplus z^{3}x^{3}$
#393104 $a^{2}cotA\dotplus b^{2}cotB\dotplus c^...
Đã gửi bởi
on 04-02-2013 - 16:16
trong
Các bài toán Đại số khác
Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có
$a^{2}cotA\dotplus b^{2}cotB\dotplus c^{2}cotC= 4S$
MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé
$a^{2}cotA\dotplus b^{2}cotB\dotplus c^{2}cotC= 4S$
MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé
#393318 $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 10:29
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{a}{b+2c+3d}\dotplus \frac{b}{c+2d+3a}\dotplus \frac{c}{d+2a+3b}\dotplus \frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$
đây là đề thi IMO shortlist 1993
$VT= \sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{\left ( a+b+c+d \right )^{2}}{4\left ( ab+bc+cd+da+ac+bd \right )}$( BĐT CAUCHY-SCHWARZ)
mà : $\left ( a+b+c+d \right )^{2}= 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq \frac{8}{3}\left ( ab+bc+cd+da+ac+bd \right )$
suy ra VT$\geq \frac{2}{3}$ (đpcm)
đây là đề thi IMO shortlist 1993
$VT= \sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{\left ( a+b+c+d \right )^{2}}{4\left ( ab+bc+cd+da+ac+bd \right )}$( BĐT CAUCHY-SCHWARZ)
mà : $\left ( a+b+c+d \right )^{2}= 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq \frac{8}{3}\left ( ab+bc+cd+da+ac+bd \right )$
suy ra VT$\geq \frac{2}{3}$ (đpcm)
#393326 $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 10:47
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1$
gọi vế trái là M
Ta có :$M=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}$
$3\left ( ab+bc+ca \right )M\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$ (BĐT cauchy schwarz)
mà$3\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$
suy ra $M\geq 1$ (đpcm)
gọi vế trái là M
Ta có :$M=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}$
$3\left ( ab+bc+ca \right )M\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$ (BĐT cauchy schwarz)
mà$3\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$
suy ra $M\geq 1$ (đpcm)
#393387 Giải phương trình: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^{2...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 14:18
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải phương trình:
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^{2}+2x}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
mod: bạn chú ý cách đặt tiêu đề ở đây nhé
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^{2}+2x}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
mod: bạn chú ý cách đặt tiêu đề ở đây nhé
#393388 Giải phương trình: $\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 14:20
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải phương trình: $\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=3x^{2}-4x-2$
#393389 chứng minh $\frac{(b+c-a)(c+a-b)}{a+b}+\fr...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 14:26
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c là 3 cạch của 1 tam giác.chứng minh rằng:
$\frac{(b+c-a)(c+a-b)}{a+b}+\frac{(c+a-b)(a+b-c)}{b+c}+\frac{(a+b-c)(b+c-a)}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}$
$\frac{(b+c-a)(c+a-b)}{a+b}+\frac{(c+a-b)(a+b-c)}{b+c}+\frac{(a+b-c)(b+c-a)}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}$
#393392 tìm min,max của $\frac{1}{1-xy}+\frac...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 14:31
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho x,y,z>0 và x+y+z=1.tìm min và max của biểu thức
$\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}$
$\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}$
#393396 Xét tính chất của tam giác,biết rằng: $cosA+cosB-cosC+1=sinA+sinB+sinC...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 14:48
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
theo t biết là :$cosA+cosB-cosC+1=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
theo đề bài suy ra $tan\frac{C}{2}=1$
suy ra tam giác ABC vuông tại C
$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
theo đề bài suy ra $tan\frac{C}{2}=1$
suy ra tam giác ABC vuông tại C
#393451 tìm min,max của $\frac{1}{1-xy}+\frac...
Đã gửi bởi
on 05-02-2013 - 19:10
trong
Bất đẳng thức và cực trị
tks bạn,nhưng tìm min thế nào?Đã được trả lời tại: http://diendantoanho...-xzleq-frac278/
#393642 chứng minh rằng: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 08:36
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=x+y+z+2.chứng minh rằng:
a,$xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$
b,$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{xyz}$
a,$xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$
b,$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{xyz}$
#393645 $(cosA+cosB)^{2}+(cosB+cosC)^{2}+(cosC+cosA)^{2...
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 08:53
trong
Các bài toán Lượng giác khác
cho ABC là tam giác nhọn.Chứng minh rằng:
$(cosA+cosB)^{2}+(cosB+cosC)^{2}+(cosC+cosA)^{2}\leq 3$
$(cosA+cosB)^{2}+(cosB+cosC)^{2}+(cosC+cosA)^{2}\leq 3$
#393650 rút gọn: $S=sin^{3}\frac{x}{3}+3sin^...
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 08:58
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
rút gọn:
$S=sin^{3}\frac{x}{3}+3sin^{3}\frac{x}{3^{2}}+3^{2}sin^{3}\frac{x}{3^{3}}+.....+3^{n-1}sin^{3}\frac{x}{3^{n}}$
$S=sin^{3}\frac{x}{3}+3sin^{3}\frac{x}{3^{2}}+3^{2}sin^{3}\frac{x}{3^{3}}+.....+3^{n-1}sin^{3}\frac{x}{3^{n}}$
#393704 chứng minh rằng với $\frac{-\pi }{8}\...
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 11:08
trong
Các bài toán Lượng giác khác
chứng minh rằng với $\frac{-\pi }{8}\leq\alpha \leq\frac{\pi}{8}$.ta có:
$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos8\alpha}}}=cos8\alpha$
$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos8\alpha}}}=cos8\alpha$
#394427 rút gọn: $(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos4x-1)...(2cos2^{n}x-1)$
Đã gửi bởi
on 07-02-2013 - 17:20
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
rút gọn:
$(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos4x-1)...(2cos2^{n}x-1)$
$(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos4x-1)...(2cos2^{n}x-1)$
#394430 chứng minh rằng : $tan\alpha +tan(\frac{\pi}...
Đã gửi bởi
on 07-02-2013 - 17:24
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
chứng minh rằng :
$tan\alpha +tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)+tan(\frac{\pi}{3}+\alpha )=3tan3\alpha$
$tan\alpha +tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)+tan(\frac{\pi}{3}+\alpha )=3tan3\alpha$
#394563 $sin\frac{A}{2}\leq\frac{a}...
Đã gửi bởi
on 07-02-2013 - 20:57
trong
Các bài toán Lượng giác khác
chứng minh rằng với tam giác ABC tùy ý ta luôn có :
$sin\frac{A}{2}\leq\frac{a}{b+c}$
$sin\frac{A}{2}\leq\frac{a}{b+c}$
#394767 $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc...
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 10:52
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
a,$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq\frac{1}{R^{2}}$
a,$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq\frac{1}{R^{2}}$
#394772 $abc\geq 8$
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 11:16
trong
Bất đẳng thức và cực trị
còn 1 cách khác này:
vì a+b+c+2=abc nên tồn tại x,y,z>0 t/m :$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$
BĐT cần chứng minh tương đương với :$(x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(dễ dàng chứng minh được bằng BĐT AM-GM)
vậy ta có đpcm
vì a+b+c+2=abc nên tồn tại x,y,z>0 t/m :$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$
BĐT cần chứng minh tương đương với :$(x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(dễ dàng chứng minh được bằng BĐT AM-GM)
vậy ta có đpcm
#394826 $abc\geq 8$
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 14:23
trong
Bất đẳng thức và cực trị
câu 1 chẳng qua chỉ là 1 cách biến đổi khác từ a+b+c=2=abc 
làm thử câu 2 vs cách trên nhé:
đặt:$\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{b+1}=y,\frac{1}{c+1}=z,\frac{1}{d+1}=t \Rightarrow a=\frac{y+z+t}{x},b=\frac{x+z+t}{y},c=\frac{x+y+t}{z},d=\frac{x+y+z}{t}$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(x+y+z)(y+z+t)(z+t+x)(x+t+y)\geq81xyzt$(áp dụng AM-GM 3 số là ra thôi )
bài 3 chứng minh tương tự với n số thôi
làm thử câu 2 vs cách trên nhé:
đặt:$\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{b+1}=y,\frac{1}{c+1}=z,\frac{1}{d+1}=t \Rightarrow a=\frac{y+z+t}{x},b=\frac{x+z+t}{y},c=\frac{x+y+t}{z},d=\frac{x+y+z}{t}$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(x+y+z)(y+z+t)(z+t+x)(x+t+y)\geq81xyzt$(áp dụng AM-GM 3 số là ra thôi
)bài 3 chứng minh tương tự với n số thôi
#394872 chứng minh rằng : $sinx+sin3x+sin5x+...+sin(2n-1)x=\frac{sin^...
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 15:43
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
chứng minh rằng : $sinx+sin3x+sin5x+...+sin(2n-1)x=\frac{sin^{2}nx}{sinx}$
