Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{2sin2+4sin4+...+180sin180}{cot1}$

Cho $tan\alpha =\frac{1}{3}$. Tính $\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }$

Chia cả 2 vế cho $cos\alpha \neq 0$:

$A=\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }=\frac{(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^3+1}{3-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{tan\alpha^3+1}{3-tan\alpha}=\frac{7}{18}$

KQ : $\boxed{A=\frac{7}{18}}$

P/s : sorry, mình làm nhầm mất T.T

Bạn ơi chia kiểu ji mà lại có $(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{3}$ được, $sin^{3}\alpha :cos\alpha$ thôi mà???

Gợi ý nhé :

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Ta phải  chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$

 

Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$

Bạn có thể ns rõ cách suy luận hay nhận xét để có cách làm như thế đk k?

Có thể tổng quát bài toán trên thành 

Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$

Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$

trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$

Chứng minh tổng quát tn đk bạn?

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc+a+c = b. Tìm giá trị lớn nhất của $P = \frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$

Chọ họ đường thẳng $(d_{m})$: $y=\frac{m+1}{m^{2}+m+1}x+\frac{m^{2}}{m^{2}+m+1}$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kì đường thẳng nào thuộc họ $(d_{m})$ đi qua.

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

$m^{2} + 5mx - x^{4} +3x^{3} + 2x^{2} +3x + 1 =0$ (1)

Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn m , ta có :

 \Delta$$= 25x^{2}+4x^{4}-12x^{3}-8x^{2}-12x+4 = (2x^{2}-3x+2)^{2}$

Phương trình có 2 nghiệm : $m_{1}=x^{2} - 4 x -1 ; m_{2}=-x^{2} - x -1$ 

Ta có: $\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của $(1)$ là $m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m=x^2-4x+1}\\
{m=-x^2-x-1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2-4x+1-m=0   (3)}\\
{x^2+x+1+m=0    (4)}
\end{array}} \right.$
$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình $(3)$ là : $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $(4)$ là : $x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):$ (x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình$(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu $m<-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ vô nghiệm
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x_1=x_2=2$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt
     $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có một nghiệm kép $x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu $m<-3$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$: Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
       $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$

Bạn sửa lại phần gõ ở đầu đk không??? Mình suy mãi mà chẳng được bạn à

Giải và biện luận phương trình sau theo m: $x^{3}+5x^{2}+(5m+1)x + m^{2}=(x^{2}-x+1)^{2}$

Giải phương trình:

$x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$

Giải phương trình: $4x^2+ \sqrt{3x}=1+\sqrt{x+1}$

Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+5}=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}$

$Đk : x \neq \pm \sqrt{3}

\sqrt{x^{2}+5}=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}

<=> 2x\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}+\frac{1}{x^{2}-3}-5=0

Đặt y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-3}}

$

Bạn gõ lại công thức đk không. Bị lỗi hết rồi bạn à???

Giải phương trình: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{(x-2)\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}$

Giải phương trình: 

$\sqrt{\frac{6}{2-x}}+\sqrt{\frac{10}{3-x}}=4$

Giải phương trình:

$\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}=1+\sqrt{3+2x-x^2}$

Giải phương trình: 

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

x^{2} + $\sqrt{x}$ = 5

Hix. Mình cũng thấy nghiệm lẻ. Nếu trong căn là x + 5 thì lại dễ rồi. Dù sao cũng cảm ơn 2 bạn. Mà gõ x^2 thế nào đk nhỉ? Mình là mem mới nên ko rõ lắm???

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} \frac{2}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{11}{12} & \\ \frac{1}{9x^{2}}+\frac{1}{4y^{2}}+\frac{1}{6xy}=\frac{37}{144}& \end{matrix}\right.$

Giải bất phương trình:

$9x^2+8x-32>16\sqrt{8-2x^{2}}$

PT$\Leftrightarrow \frac{2x+4-4(2-x)}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}>\frac{4(3x-2)}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

$\Leftrightarrow \frac{2(3x-2)}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}>\frac{4(3x-2)}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

Phần sau giải sak đk bạn? Kĩ hơn 1 chút đk k?