Xác định đa thức $f(x)=x^{2}+ax+b$ biết rằng $\left | f(x) \right |\leq \frac{1}{2}$ với mọi x thỏa mãn $-1\leq x\leq 1$

$\left | f(-1) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \left | 1-a+b \right |\leq \frac{1}{2}$

$\left | f(1) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \left | 1+a+b \right |\leq \frac{1}{2}$

$\left | f(0) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}\leq b\leq \frac{1}{2}$(1)

$1\geq \left | 1-a+b \right |+\left | 1+a+b \right |\geq \left | 2+2b \right |\Rightarrow 1\geq 2+2b\geqslant -1\Rightarrow -\frac{1}{2}\geq b\geq -\frac{3}{2}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $b=-\frac{1}{2}$$\Rightarrow f(x)=x^2+a-\frac{1}{2}$

Mặt khác $\left | 1+a-\frac{1}{2} \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \left | \frac{1}{2}+a \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -1\leq a\leq 0$

$\left | 1-a-\frac{1}{2} \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \left | \frac{1}{2}-a \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow 0\geq -a\geq -1\Rightarrow a\geq 0$

Do đó a=0

Vậy $f(x)=x^2-\frac{1}{2}$

đề: tìm, x,y,z thỏa mãn

.Cách làm:

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}= 4$

=> $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}=4$

mà $\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=4$

=> $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}$

=> $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^{2}}=0$

=>$(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^{2}+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}=0$

=>$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}$

mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

=>$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}=2$

=> $x=y=-z =\frac{1}{2}$

Sai rồi đề là z chứ z^2 đâu

bài này dùng BĐT cho vế phải

Dùng thế nào vậy bạn?

Tìm x,y,z biết: $\frac{1}{2}(x+y+z+457)=4\sqrt{x-4}+3\sqrt{y-2}+35\sqrt{z-787}$

=> $x^{2}+2x(y+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+y)^{2}-(\frac{1}{2}+y)^{2}+y^{2}+4y$

Bạn làm cái gì vậy?

Bài của bạn ko phay tẹo nào vì chả biết bạn viết cái gì@@

Tìm x để $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}\in \mathbb{Z}$

Sau khi giải ra còn 1 nghiệm nữa là $3,5-\frac{\sqrt{13}}{2}$

x là số thực đó bạn

1)Chém phần đầu cái đã@

Ta có :$20^{20}=2^{20}.10^{20}\Rightarrow S(20^{20})>20;S(n^n+1)<20\Rightarrow n<20$

+) n=1 thì P=2

+)n=2 thì P=5

+)n>2 thì P>5, P lẻ do đó n chẵn 

Với $n=(2p+1)q(q,p\in \mathbb{N};p,q>0;q chẵn )$$\Rightarrow n^n+1=(n^q)^{2p+1}=(n^q+1)A (A>1)\Rightarrow n^n+1/n^q+1$ (ktm)

Do đó $n^n$ không có ước số lẻ và có dạng $2mn$ với $m,n$ chẵn $\Rightarrow n\in \left \{ 4,8,16 \right \}$

Thử chọn có n=4 tm

Tìm nghiệm nguyên dương :   $x^{3} +y^{3}=3xy -1$

Ta có: $PT\Leftrightarrow x^3+y^3+1^3-3x.y.1=\frac{1}{2}(x+y-1)[(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2]=0$

Do đó; x=y=1 Hoặc x+y=1 thay vào PT đầu tìm nghiệm.

đặt x=z;x+z=b.PT tương đương với:

$a^3-(a+b)^2=b^3+34\Leftrightarrow a^3-b^3=(a+b)^2+34\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=(a+b)^2+34$

Do đó a>b.

+) Nếu a-b=1 thay vào >>>

+) nếu $a-b\geq 2\Rightarrow a^2+ab+b^2$\geq$\frac{(a+b)^2+34}{2}$

Chặn>>> giải pt nghiệm nguyên 

à mình nhầm,sr

AM-GM

$9a+9b+9c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt[4]{9^3}$

Dùng Cauchy-Schwarz

$1=a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$\Rightarrow a+b+c\leq ?$

Như vậy ta tìm được Min

Bạn ngược dấu rồi

Ta có :
$(x+y+z)^2\geq 0\forall x,y,z\in \mathbb{R}\Rightarrow 8\geq x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+xz)\Rightarrow -8\leq 2(xy+yz+xz)\Rightarrow -4\leq xy+yz+xz$
Lại có:
$8\geq x^2+y^2+z^2\geq x^2+z^2\geq -2xz\Rightarrow -4\leq xz\Rightarrow xy+yz+2xz\geq -8$

Dấu "=" xảy ra0$\Leftrightarrow$ x=y=0,25 z=0,5 t=1 

Ta có:(x+y+z)x+yz=(x+z)(x+y).Áp dụng BĐT $(a+b)^2\geq 4ab$ Ta có:$(x+y)^2(x+z)^2= [x(x+y+z)+yz]^2\geq 4xyz(x+y+z)=4\Rightarrow (x+y)(x+z)\geq 2$

Theo gt ta có: $(x+y)xy=x^2+y^2-xy$

Do đó: $A=\frac{(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x^3y^3}=\frac{xy(x+y)^2}{x^3y^3}=\left ( \frac{x+y}{xy} \right )^2=\left ( \frac{\left ( x+y ^2\right )}{x^2+y^2-xy} \right )^2=\left ( 1+\frac{3xy}{x^2+y^2-xy} \right )^2$

Đặt $\frac{3xy}{x^2+y^2-xy}=\frac{1}{E}(E\neq 0)\Leftrightarrow x^2+y^2-xy=3Ey\Leftrightarrow \left ( x-\frac{y(3E+1)^2}{2} \right )\geq 0;y^2\geq 0$ nên $3E^2+2E-1\geq 0\Leftrightarrow E\geq \frac{1}{3} or E\leq -1\Leftrightarrow -1\leq \frac{1}{E}\leq 3\Leftrightarrow 0\leq A\leq 16$

$a\geq 2;b\geq 9;c\geq 1969;a+b+c=2008$.Tìm Max P=abc

Bạn lấy đáp án ở đâu vậy?

Bài Toán :

Cho 2 số $x,y$ thoả mãn $1\leq x\leq 3;\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{2}{3}$

Tìm Max M=$6x^2y^2-7x^2y-24xy^2+2x^2+18y^2+28xy-8x-21y+6$

< ĐTTS lớp 10 Tỉnh Bắc Giang năm 2013-2014>

Câu 4: Cho a,b là hai số thực dương. CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geqslant 2\sqrt{2}$

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Ta có:$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\geq \sqrt{\frac{(a+\frac{1}{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(b+\frac{1}{a})^2}{2}}\geq \frac{a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$

Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

Cách khác nè:

Theo Schwarz ta có:

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{(a+b)^2}{4ab^2+4a^2b+a+b}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+4ab}\geq \frac{(a+b)^2}{2(a+b)^2}=\frac{1}{2}$

$\frac{a^2+b^2+1}{a-b}=a-b+\frac{2ab+1}{a-b}=a-b+\frac{9}{a-b}\geq 6\Leftrightarrow a=4;b=1$

VD: 169