Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

Cách khác nè:

Theo Schwarz ta có:

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{(a+b)^2}{4ab^2+4a^2b+a+b}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+4ab}\geq \frac{(a+b)^2}{2(a+b)^2}=\frac{1}{2}$

$\boxed{\text{ Bài toán 1 :}}$

Chém một chút đã

a)$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

b)$begin{matrix} 1^3=1\\ 2^3=(1+1)^3=1^3+3.1^2.1+3.1.1^2+1^3\\ 3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2.1+3.2.1^3+1^3\\ ....\\ (n+1)^3=n^3+3.n^2.1+3.n.1^2+1^3\end{matrix} \Leftrightarrow 1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1^3+2^3+3^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+(n+1)\Leftrightarrow 3(1^2+2^2+...+n^2)=(n+1)^3-3(1+2+...+n)-(n+1)=\frac{(n+1)n(2n+1)}{2}\Leftrightarrow 1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Up hình vào kiểu gì vậy?

Mình đóng góp 1 bài nhé:

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I).CMR: $IA^2.BC+IB^2.ac+IC^2.AB=AB.AC.BC$ ( Dùng đl ptolemy nhé)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b)

Theo Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3$

b) Thay b=a+d-c , a=b+c-d vào ta có :
ac+dc-c^2$\geq$bd+cd-d^2$\Leftrightarrow c(a-c)\geq d(b-d)$ Mà $a\leq b\leq c\leq d \Rightarrow$ Điều này luôn đúng

a)
Ta có $a=b+c+d$$\Rightarrow a^2=(b+c+d)^2$ Thay vào $a^2+b^2+c^2+d^2=(b+c+d)^2+b^2+c^2+d^2=2b^2+2c^2+2d^2+2bd+2bc+2cd=(b+c)^2+(b+d)^2+(c+d)^2$ là tổng 3 SCP

Không khó

Bài 3 Ta có

$a_{n}=1+\dfrac{2^{n}.(1.3.5...(2n-1).[(n+4)!]}{(2n)!}$

$=1+\dfrac{2^{n}.[(n+4)!]}{2.4.6....2n}$

$=1+\dfrac{(n+4)!}{n!}$

$=1+(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=(n^2+5n+5)^2$ (đpcm)

Mình làm quy nạp cũng ra như bạn!

 

Để mình hướng dẫn bạn nhé:
Đk: x$\geqslant$5.
Chuyển vế bình phương ta được:
2x²-5x+2=5$\sqrt{(x^2-x-20)(x+1)}$
$\Leftrightarrow$ 2x²-5x+2=5 $\sqrt{(x+4)(x-5)(x+1)}$
$\Leftrightarrow$ 2(x²-4x-5)+3(x+4)=5$\sqrt{(x+4)(x^2-4x-5)}$
Đặt: a=$\sqrt{x^2-4x-5}$ và b=$\sqrt{x+4}$ thì phương trình trở thành:
2a² + 3b²=5ab
Đến đây bài toán coi như xong. Bạn tự giải tiếp nhé.

Bạn bình phương chuyển vế sai rồi!

Cách 3: http://diendantoanho...nhx2y2x2y2le-2/

Mình hay mua ở www.nhasachtritue.com

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\left\{\begin{matrix} 2x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 2xz\\ 2y^2+\frac{1}{2}z^2\geq 2yz\\ x^2+y^2\geq 2xy \end{matrix}\right. \Rightarrow A\geq 2(xy+yz+xz)= 10$

Bài 2:

$(x+y)^2\leq 2x^2+2y^2=2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

Cách làm chế từ lời giải 2:

-theo nguyên lí dirichlet thì trong 3 số (a-1);(b-1);(c-1) có ít nhất 2 số cùng dấu

*Không mất tính tổng quát nếu gs a-1 và b-1 cùng dấu do đó (a-1)(b-1)$\geq 0$  suy ra ab-a-b+1>=0

*Vì c>0 $\Rightarrow abc+c\geq ac+bc\Rightarrow 2abc\geq 2ac+2bc-2c$..Do đó : $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2bc+2ac-2c+1$.Ta xét:

$a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1-2(ab+bc+ca)=(c-1)^2+(a-b)^2\geq 0$.Do đó $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)$

      UBND TỈNH BẮC NINH                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                    NĂM HỌC 2012 – 2013

                                                                                    MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS

 

ĐỀ CHÍNH THỨC

                                                                 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

                                                                                  Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

                                                                                        = = = = = = = = = = = =

 

Câu 1. (4,0 điểm)

          Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$

1.     Rút gọn biểu thức P

2.     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Câu 2. (4,0 điểm)                                                      

          1.  Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$

          2.  Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$

 (Với x, y, z là các số thực dương).

Câu 3. (3,0 điểm)

1.     Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2  -5 =0.$

2.     Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$

Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$

Câu 4. (6,0 điểm)

          Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).

1.     Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

          2.   Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.

Câu 5. (3,0 điểm)

          1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn  $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)

          (với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).

          2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

------------------------Hết--------------------------

Bài 3:b)

Ta có:

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0 \end{matrix}\right.$

*Nếu $a+b=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=1\\ (a+b)^2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c^2=1\\ a^2+b^2=0\\ a^2+b^2+2ab=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=0\Leftrightarrow a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\Rightarrow Q.E.D$

Tương tự với 2TH còn lại

Ban ra đề kém thế? lấy nguyên câu bđt bọn a mới thi chuyển hệ kì I. Lúc thi a có 3 cách làm như sau:

C1:

Đặt a=1-x, b=2-y thay vào đc c=3+x+y.

Thay vào bđt cần cm phá ra nhóm đc điều phải cm.

C2: 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$x+y+z+xy+yz+zx\geq 3xyz\Leftrightarrow 7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 0$

kết hợp với AM-GM ta có :$7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 7+z(6-z)+\frac{(7-z)^2}{8}(1-3z) ;( 1-3z<0)=\frac{1}{8}(z-3)(7-z)(3z-5)\geq 0\Rightarrow Q.E.D$

C3: Dùng tính chất của hàm số bậc nhất. cố định 1 biến z kết hợp với tính chất min, max của hàm số bậc nhất tại 1 khoảng xảy ra ở biên cũng suy ra đc đpcm.

P/S: Mấy ông ra đề toàn ăn cắp. năm ngoái ăn cắp cả bài hình thi CSP :3

Chán quá anh ạ, thiếu tí thời gian thì làm được :'(

Không sao đâu e ạ chắc gì đã thua chúng nó =))) năm ngoái a làm hết mà k có giải vẫn quẩy tưng bừng :v Xõa đê

Klq nhưng e mua hồ sơ trường a chưa? bán r đấy!

Bài tổ hợp có trong cuốn của Titu

Latex mất ạ

sao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?

Em cũng vậy,không tài nào vào được@

Có kq rồi mình được 18.75 thôi bùn quá@@

Chuẩn   Mình làm y như bạn ko biết tn@@

Câu 5: Mình nghĩ là hay nhất@@

$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{1}{4}(\frac{4a}{a+1}+\frac{4b}{b+1})\leq \frac{1}{4}\left ( a+1+b+1 \right )\leq \frac{1}{4}(a+b+2)$(1)

Lại có: $a+b=a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow a+b\leq 2$(2)

Từ (1) and (2) $\Rightarrow S\leq 1$

P/S: chả ai thèm ngó ngàng gì @@

Làm bài 4 nhé:

1)b

Dễ dàng chứng minh được :$\bigtriangleup ADC\sim \bigtriangleup IBD(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{IDB}\Rightarrow \widehat{ACD}+\widehat{KDC}=45^0\Rightarrow \widehat{DKC}=135^0\Rightarrow \widehat{HKD}=45^0\Rightarrow \widehat{HDI}=45^0\Rightarrow Q.E.D$

Câu 1:

1)Phân tích đa thức thành nhân tử: P=$2a^3+7a^2b+7ab^2+2b^3$

2)Cho $x^2+x=1$.Tính $Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$

Câu 2:

1) Cho biểu thức: $R=\left ( \frac{x-1}{x^2-2x}+\frac{x+1}{x^2+2x}-\frac{4}{x^3-4x} \right ):\frac{4026}{x}$.Tìm x để biểu thức xác định,khi đó hãy rút gọn biểu thức.

2) Giải phương trình sau: $\left | x-2 \right |(x-1)(x+1)(x+2)=4$

Câu 3:

1) Cho n là số tự nhiên lẻ.Chứng minh $n^3-n\vdots 24$

2) Tìm n tự nhiên để $n^2+4n+2013$ là số chính phương

Câu 4:

1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D.Biết CD=2AB=2AD và BC=a$\sqrt{2}$

a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a

b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.Chứng minh góc HDI=45 độ

2) Cho tâm giác ABC có BC=a,CA=b,AB=c.Độ dài các đường phân hiác trong của tam giác kẻ từ đỉnh A,B,C lần lượt là d,e,f.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 5:

Cho 2 số không âm a và b sao cho: $a^2+b^2=a+b$.Tìm Max :

                                     $S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

P/S: đề năm nay khá dễ,mình làm hết ko biết tn.