Cách khác cho câu 3

$u(x)\leq 1+\int_{0}^{x}\frac{\varphi '(t)u(t)dt}{\varphi (t)}$

Dễ thấy $ u(0) \leq 1$

 

$\Leftrightarrow u(x)-\varphi (x)  \leq  \int_{0}^{x} \frac{\varphi '(t)u(t)dt}{\varphi (t)}-\int_{0}^{x}\varphi '(t)dt=\int_{0}^{x}\left (\varphi '(t)( \frac{u(t)-\varphi (t)}{\varphi (t)})  \right ) dt $

Do $\varphi (t)$ đồng biến và $\varphi(0)=1 \Rightarrow \varphi (t)\geq 1 \forall t\in [0;\infty) $

$\Rightarrow u(x)-\varphi (x) \leq  \int_{0}^{x}\left (\varphi '(t)(u(x)-1)  \right ) dt=u(x)-\varphi (x)-\int_{0}^{x}\varphi '(x) $

$\Rightarrow \varphi(x)<1-\int_{0}^{x}u'(t)\varphi (t)dt ;\varphi(x)\geq 1 \forall x\in [0;\infty] \Rightarrow  u'(t)<0 $

Xét hàm số $g(x)=u(x)-\varphi (x) $

$g'(x)=u'(x)-\varphi' (x) <0 ;g(0)=u(0)-\varphi (0)<0 \Rightarrow g(x)<0 \forall x\in [0;\infty]$

 

Dòng này có vấn đề??

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9

Đặt A=..... Ta cần cm A<=2

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}$

Với a,b>0 có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{a+3b}}.\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

Do đó $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{3}{2})$

Làm tương tự => đpcm

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9 

Bài 6 có thể chứng minh f=0.

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ!

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             gt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              ds.jpg

Chi chem moi gt thoi nhe!

Cau 6 Vì f liên tục trên \left [ 0;1 \right ] nên tồn tại M=maxf(x);x\epsilon\in \left [ 0;1 \right ]

Sử dụng tính liên tục của f ta có với \epsilon > 0  cho trứớc tồn tại \left [ a;b \right ]\subset \left [ 0;1 \right ]  để f(x)\geq M-\frac{\epsilon }{2} với mọi x\in \left [ a;b \right ]

Ta có (\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\leq \int_{0}^{1}Mdx=M (1)

(\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (\int_{b}^{b}(M-\frac{\epsilon }{2})^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (M-\frac{\epsilon }{2})(a-b)^{\frac{1}{n}}\geq M-\frac{\epsilon }{2}(2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$. Tìm GTNN của $A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$

????    

Câu 3:Do $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$ nên theo định lý trung gian tồn tại ít nhất 1   $x\in (x_{1};x_{2})$ (giả sử $x_{1}< x_{2}$) là nghiệm của $f(x)=0$

Trong các nghiệm đó phải có  $x_{0}$ sao cho tồn tại $\epsilon > 0$ đủ nhỏ để $x_{1}< x_{0}-\epsilon < x_{0}+\epsilon < x_{2}$ và 

với mọi $x\in (x_{0}-\epsilon ;x$_{0}$):f(x)< 0$

với mọi $x\epsilon (x^{0},x_{0}+\epsilon );f(x)> 0$ (TH ngược lại xét tương tự)

Đặt $g(x)=15f(x)+2f(x+\alpha )+2014f(x+2\alpha );\alpha \in (0;\frac{\epsilon }{3})$

$\Rightarrow g(x)$ liên tục

Chọn $x_{1}'\in (x_{0}-\epsilon ;x_{0}-2\alpha )\Rightarrow x,x+\alpha ,x+2\alpha \in (x_{0}-\epsilon ;x_{0})\Rightarrow g(x_{1}') < 0$

Chọn $x_{2}'\in (x_{0};x_{0}-2\alpha +\epsilon )\Rightarrow g(x_{2}')> 0$

Do $g(x_{1}').g(x_{2}')< 0$ nên pt g(x)=0 có tồn tại nghiệm ;chọn là x=b.Bài toán được chứng minh

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

Cho e hỏi nếu GT đổi thành abc=1 thì làm ntn ạ?

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c} \geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Tìm tích 8 nghiệm phức của phương trình :$\frac{(x+1)^{9}-1}{x}=0$

Câu 1: 

   1. Rút gọn biểu thức $P=\frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}}-\frac{1-\sqrt{9}+4\sqrt{2}}{7-\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$

   2.Xét 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $\frac{xz}{z+\sqrt{z^2+1}}+\frac{z}{y}=\frac{\sqrt{z^2+1}}{y}$. CMR: $\frac{1}{\sqrt{xy}+x\sqrt{yz}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}=1$

Câu 2: 

   1.Giải pt: $x^3+x^2+2x=\frac{4\sqrt{5}}{15}(x^2+2)\sqrt{x^4+4}$

   2. Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} \frac{(x-y)^2-1}{xy}-\frac{2(x+y-1)}{x+y}=-4 & \\ 4x^2+5y+\sqrt{x+y-1}+6\sqrt{x}=13 & \end{matrix}\right.$

Câu 3: 

   1.Cho các đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn $P(x)=\frac{1}{2}(Q(x)+Q(1-x))$ với mọi x. Biết rằng các hệ số của P(x) là các số nguyên không âm và P(0)=0. Tính $P(3P(3)-P(2))$.

   2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn pt: $(x-y-1)(x+1-y)+6xy+y^2(2-x-y)=2(x+1)(y+1)$.

Câu 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), vẽ đường tròn (O';R') (R'<R) tiếp xúc với cạnh AD tại H, tiếp xúc với cạnh BC tại G và tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M( M thuộc cung CD không chứa điểm A). Vẽ đường thẳng tt' là tiếp tuyến chung tại M của (O) và (O') (tia Mt nằm trên nửa mp bờ là đường thẳng MA chứa điểm D)

   1. CMR: góc DHM= góc DMt +góc AMH và MH,MG lần lượt là tpg của góc AMD, BMC

   2. MH cắt (O) tại E( E khác M). 2 đường thẳng HG và CE cắt nhau tại I. CMR: góc EHI= góc EIM

   3. CMR: đường thẳng HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD.

Câu 5:

   1. Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: $\frac{1}{c(c+a+3b)+c^2}+\frac{1}{a(a+b+3c)+a^2}+\frac{1}{b(b+c+3a)+b^2}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

   2.....

đề nay ko sd mtính 

bọn mình có dùng mt

Với x>=0 có:

$\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^{2})}\leq \frac{1+x+1-x+x^{2}}{2}=1+\frac{x^{2}}{2}$

Áp dụng có:$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\doteq \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}(\frac{b+c}{a})^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cmtt... => đpcm

Cho a,b,c>1 và $\frac{1}{a^{2}-1}+\frac{1}{b^{2}-1}+\frac{1}{c^{2}-1}=1$. CMR: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$

Có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

 

$$2\left ( a+ b+ c \right )\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b+ c- 2\,a \right )^{3}$$

 

Chỉ cần tính đến trường hợp $b+ c\geqq 2\,a$ là đủ! Vì $a+ b+ c\geqq b+ c- 2\,a,\,2\left [ \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}+ \left ( a- b \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b- a+ b- c \right )^{2}= \left ( b+ c- 2\,a \right )^{2}$ nên ta có điều phải chứng minh!

có cách nào dễ hơn k ạ? e mới học lớp 9

Cho a,b,c dương. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR $P=a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq \frac{1}{12}$

Cái này không có GTNN nhé bạn. Để ý trên tử là bậc 2, dưới mẫu là bậc 3. 

Cho $x=y$ thì $A=\dfrac{4x^2}{x^3}$. Khi cho $x$ càng lớn thì $A$ càng nhỏ. bạn xem lại đề nhé 

mình sửa lại đề rồi

Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$

Huh??? Bạn xem lại đề đ.c không/?

Đề đúng nhé. Thầy mình chữa r. $x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Giải pt: $3(x+2\sqrt{x^{2}+1})=-3x^{2}-2x\sqrt{3}+3\sqrt{3}-1$