Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2x-5=y\\ y^3+3y^2-2y-5=z\\ z^3+3z^2+2z-3=x \end{matrix}\right.$

Tìm $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn: $x^2+y^3=z^4$

• Với $x,y,z$ là các số nguyên tố
• Với $x,y,z$ là các số nguyên dương

Cho $a,b>0$ và $a+b=\sqrt{2014}.$ Tìm Min $M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}.$

Ta có : $M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{9}{a^2+b^2+4ab}\geq \frac{9}{(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{9}{2014+1007}=\frac{3}{1007}$

Tìm số thực $a$ đểphương trình với ẩn số $x$ sau đây có ít nhất 1 nghiệm nguyên :

$2x^2-\left ( 4a+7 \right )x+4a^2+\frac{187}{16}=0$

Giải HPT : $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=1-xy \\ x^2+y^2=3xy+11 \end{matrix}\right.$

Có thể sai sót nhỏ về số đấy bạn !!  

Mình ghán luôn, k lm tròn số. Thì kết quả vẫn đúng mà

Ta có :$a^2+1=a^2.\frac{a+b+c}{abc}+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}= > \sqrt{\prod (a^2+1)}=\frac{\prod (a+b)}{abc}$

Đến đấy làm ntn để xuất hiện $(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)$ 

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh: $\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geqslant \frac{3}{2}.$

Ta có : $\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}= \frac{c}{b(ac+bc)}+\frac{a}{c(ac+ba)}+\frac{b}{a(ba+bc)}=\frac{c}{b(3-ab)}+\frac{a}{c(3-bc)}+\frac{b}{a(3-ac)}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 3-ab \right )\left ( 3-ac \right )\left ( 3-bc \right )}}\geq \frac{3}{\left ( \frac{3-ab+3-bc+3-ac}{3} \right )}=\frac{3}{2}$

 

10/ Cho dãy số $1;1+2^3;1+2^3+3^3;1+2^3+3^3+4^3$

a/ Tính số hạng thứ $10$ của dãy.

b/ Tính $11^3+12^3+13^3+...+30^3$

 

 

Câu 10:

Dùng VN ES PLUS II thì dùng $\sum$

Dùng CASIO:

$A=A+1:B=B+A^3$ với $0\rightarrow A;0\rightarrow B$

Bài 4. Thay $x=-6\Rightarrow 0=a-222\Rightarrow a=222$

Không biết gì về Casio nhưng làm được bài này.

Ta có : $sin^{2}x+cos^{2}x=1\Leftrightarrow cos^{2}x=1-sin^{2}x$

Gán $sinx \mapsto B$

Suy ra $A=1-B^{2}-2B-B^{3}$ 

Bài này dùng $SHIFT SIN (0,32167) =18^{\circ}45'50''\rightarrow A$

Rồi nhập vào là đc

Cho $x,y,z,t$ là các số nguyên dương thảo mãn : $xyzt=35\left ( x+y+z+t \right )+62$

P/s: Nêu vắn tắt cách làm. Nhưng phải nêu đúng kết quả đấy. Bắt buộc   

Nếu nguyên dương thì như thế này

     Giả sử $0< x\leq y\leq z$ , ta có $0< xyz=x+y+z\leq 3z\Leftrightarrow 0< xy\leq 3$ . Đến đây dễ rồi

Nếu nguyên âm thì cũng tương tự

Nếu nguyên không thôi thì pt vô số nghiệm $\left\{\begin{matrix} x\in \mathbb{Z}\\ (xz-1)(xy-1)=x^2+1=x_{1}x_{2}...x_{n} &; \left\{\begin{matrix} n\in \mathbb{N}^*\\ x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Chưa chắc đâu anh.

Giả sử $x=0\Rightarrow y=-z$ luôn đúng mà

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. 

CMR:$$\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{3}{4}$$

Ta có : $\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}=\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}-\frac{2+y+z}{8}=\geq \frac{3x}{4}-\frac{2+y+z}{8}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{3}{4}\sum x-\frac{3+x+y+z}{4}=\frac{1}{2}\left ( \sum x \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

pt tương đương với: $(x-y)\left [ (x-y)^2+3xy \right ]-2(x-y)^2-7xy-17=0$

Đặt $a=x-y,b=xy$, pt trở thành $a\left ( a^2+3b \right )-2a^2-7b-17=0$

$\Leftrightarrow -27b=\frac{27a^3-54a^2-459}{3a-7}=9a^2+3a+7-\frac{410}{3a-7}$

Vì $a,b\in \mathbb{Z}^+$ nên $\frac{410}{3a-7} \in \mathbb{Z}$

TO BE CONTINUED...

Cách của anh rất hay. Em xin bổ sung 1 cách của em   

$GT\Rightarrow x^3-y^3=2\left ( x^2+y^2+xy \right )+xy+17\Leftrightarrow \left ( x-y-3 \right )\left ( x^2+y^2+xy \right )=17-x^2-y^2$

Nếu $x-y\geq 3\Rightarrow x=4,y=1$ dễ dàng tìm thấy

Nếu $x-y<3$ mà $x>y$

$\Rightarrow x-y\epsilon \left \{ 1;2 \right \}$

Với $x-y=1\Rightarrow \left ( y+1 \right )^3=y^3+2y^2+2\left ( y+1 \right )^2+3y(y+1)+17\Rightarrow 0=4y^2+4y+18$ vô lý

Với $x-y=2\Rightarrow \left ( y+2 \right )^3=y^3+2y^2+2\left ( y+2 \right )^2+3y(y+2)+17\Rightarrow 0=y^2+2y+17$ vô lý

Chắc là bạn ấy ghi thiếu điều kiện đấy!

Mình đang muốn hỏi nguyên âm  và nguyên dương thì làm ntn.

Tìm $x,y,z$ là các số nguyên sao cho : $x+y+z=xyz$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $x^3=y^3+2\left ( x^2+y^2 \right )+3xy+17$

Phát triển Topic

Chứng minh nếu $\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=2\sqrt{a+1}$ thì $b+c\geq 2a$

Ta có : $GT\Rightarrow 4a+4=\left ( \sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right )^2\leq 2\left ( b+1+c+1 \right )\Rightarrow 4a\leq 2(b+c)\Rightarrow 2a\leq b+c$

1/ So sánh:

Biết: $A= \frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}$

$B=\frac{2009+2010+2011}{2010+2011+2012}$

 

2/ Tìm chữ số tận cùng của tổng :$3^{0}+3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+.....3^{2008}$ giả thích vì sao??

 

Bài 2:

Ta có : $1+3^2+3^4+3^6=820\equiv 0(mod10)$

$\Rightarrow 3^{0}+3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+.....3^{2008}=\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{8}\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{2000}\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{2008}\equiv 3^{2008}\equiv \left ( 3^4 \right )^{502}\equiv 1(mod10)$

1/ So sánh:

Biết: $A= \frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}$

$B=\frac{2009+2010+2011}{2010+2011+2012}$

 

2/ Tìm chữ số tận cùng của tổng :$3^{0}+3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+.....3^{2008}$ giả thích vì sao??

 

3/ Cho a,b thỏa mãn: $ab+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}=\sqrt{2014}$

tìm giá trị biểu thức : $P=a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+a^{2}}$

 

4/ Tìm x,y biết:

$2x\sqrt{y-9}+3y\sqrt{x-9}=\frac{5}{6}xy$

Bài 1:

$B=\frac{2009+2010+2011}{2010+2011+2012}=\frac{2010+2010}{2011+2011}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow A>B$

B1.Giải Phương Trình:

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}= 1+\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}$

B2.Tính giá trị của biểu thức:

$\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}$

Bài 2:

$A=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\Rightarrow A^3=2+3A\sqrt[3]{1-\frac{84}{81}}=2+3A\sqrt[3]{\frac{-1}{27}}=2-A\Rightarrow A^{3}-2+A=0\Rightarrow A=1$

giải hệ phương trình:

      $$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+4xy =6 \\2x^{2}+8 =3x+7y \end{array}\right.$$

$GT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3\left ( x+y \right )^2-\left ( x-y \right )^2=12 & & \\ 4x^2+16=6x+14y & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3\left ( x+y \right )^2=12+\left ( x-y \right )^2 & & \\ 4x^2+16=10\left ( x+y \right )-4\left ( x-y \right ) & & \end{matrix}\right. (1)$

Đặt $x+y=a,x-y=b\Rightarrow 2x=a+b$

$(1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a^2=12+b^2 & & \\ (a+b)^2+16=10a-4b & & \end{matrix}\right.$

Thay $a$ theo $b$ tìm $x,y$

Cho $x,y,z$ dương thỏa $x+y+z=1$. Tìm $Min,Max$ của $A=\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}$

Ta có

$\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}=3-\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )=3-\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )\leq 3-\left ( x+y+z \right ).\frac{9}{3+x+y+z}=3-\left ( z+x+y \right ).\frac{9}{4(x+y+z)}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , Kẻ đường kính $AA'$ . Gọi $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. gọi $E,F$ là hình chiếu của $B,C$ trên $AA'$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.  Chứng minh : $M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$