Nhầm để làm lại cho: Dựng $CH\perp BC$ (H thuộc đường tròn nên BH là đường kính nên $\widehat{BAH}=90^{\circ}$ nên KM luôn đi qua trung điểm CH cố định nên thộc đường tròn đương kính BN với N là trung điểm CH 

0k. lần 2 mới đúng

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BH, CK. KH cắt BC tại M. Gọi O là trung điểm của BC. Đưòng tròn nội tiếp OBK và OCH cắt nhau tại điểm thứ hai là P. CMR MP vuông góc PO

Cho $x_1, x_2,...., x_n$ là $n$ số không âm thõa mãn: $x_1x_2...x_n=1$

CMR: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\geq \frac{2}{1+x_{1}}+\frac{2}{1+x_{2}}+...+\frac{2}{1+x_{n}}$

2, Kẻ HK vuông góc vs BC. 

Vì HKCD nội tiếp nên BH.BD=BK.BC

    HKBE nội tiép nên CH.CE=CK.CB

Suy ra: BH.BD+CH.CE=BC(BK+CK)=BC² (đpcm)

Gọi 25 số đã cho là a₁, a₂, ...,a₂₅ với $1\leqslant a_{1}< a_{2}}< ...< a_{25}\leqslant 48$ trong nhóm A

Lập 24 số a_{25 -} a₁, a₂₅-a₂,... a₂₅-a₂₄ trong nhóm B.

Ta có 24 số này là các số tự nhiên đôi một khác nhau và đều ko vươt quá 48.

Như vậy tổng cộng ở hai nhóm A và B có 49 số tự nhiên không vượt quá 48.

Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai số bằng nhau mà chúng ko thể ở cùng một nhóm nên ta có một số ở nhóm A bằng một số ở nhóm B, đó là a_i=a₂₅-a_j khi đó a₂₅=a_i+a_j với $1\leq i\leqslant j\leqslant 24$

Gọi 25 số đã cho là a₁, a₂, ...,a₂₅ với $1\leqslant a_{1}< ...< a_{25}\leqslant 48$1⩽a1<a2<...<a25⩽48 trong nhóm A

Lập 24 số a_{25 -} a₁, a₂₅-a₂,... a₂₅-a₂₄ trong nhóm B.

Ta có 24 số này là các số tự nhiên đôi một khác nhau và đều ko vươt quá 48.

Như vậy tổng cộng ở hai nhóm A và B có 49 số tự nhiên không vượt quá 48.

Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai số bằng nhau mà chúng ko thể ở cùng một nhóm nên ta có một số ở nhóm A bằng một số ở nhóm B, đó là a_i=a₂₅-a_j khi đó a₂₅=a_i+a_j 1≤i⩽j⩽24

Gọi P là giao điểm của EF và BC. Cần CM PH vuông góc vs AI là đc

gọi P là giao điểm của (BFM) và (CEM) CM K,H,P thẳng hàng là đc

Làm sao biết 2013-a² là số dương

Cho (O;R) và dây AB cố định. (I) tiếp xúc trong vs (O) và tiếp xúc vs AB. Tìm quỹ tích I

Gọi P là giao EF và BC, Q là giao AP và (O)

Vì AQFE nt nên AQH=90

Suy ra Q,H,K thẳng hàng

Xét tam giác APN có M là trực tâm nên MN vuông góc AP. Suy ra HK song song MN

nhầm. Đúng là đường tròn ngoại tiếp

Vì$3\leq a,b,c\leq 5$ nên (a-3)(b-3)(c-3)+(5-a)(5-b)(5-c)$\geq$0

Phân tích biểu thức trên ta có: 2(ab+bc+ca)-16(a+b+c)+98$\geq$0

Mặt khác: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)$\geq$50+16(a+b+c)-98

Đặt a+b+c=x ta có: x²-16x+48$\geq$0

Suy ra x$\geq$12 hoặc x$\leq$4

Vậy min P =12 khi a=3,b=4,c=5 và các hoán vị

Bài này hình như sai đề rồi bạn ạ. Đúng ra phải là:

$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+3=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$

vì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Rightarrow xy+yz+zx=0 \Rightarrow xy=-z(x+y);yz=-x(y+z);xz=-y(x+z)$

Khi đó -M=$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=\frac{x^{2}y+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+x^{2}z+xz^{2}+3xyz-3xyz}{xyz}=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz}{xyz}=-3 \Rightarrow M=3$

Cho a+b+c =3. Chứng minh: a⁴+b⁴+c⁴$\geq$a³+b³+c³

Dùng AM-GM

$\sum a^4+\sum a^2\geq \sum 2a^3$

Như vậy ta cần chứng minh $\sum a^3\geq \sum a^2$

$\sum a^3+\sum a\geq \sum 2a^2$

Như vậy ta cần chứng minh

$\sum a^2\geq \sum a$

$\sum (a^2+1)\geq \sum 2a=6$

$\Rightarrow$đpcm

Bạn dùng BDDT AM-GM nhưng các số a,b,c đề bài ko cho là dương đâu

Ở đây có thể có cách khác đó la:

Các bạn đăt a=1+x, b=1+y thì suy ra c=1-x-y. Sau đó thay vào biểu thức ta được điều phải chứng minh

Ta có thể phát triển bài toán từ giả thiết a+b+c=3 thành a+b+c$\geq$3 thì kết quả vẫn đúng

Các bạn thử xem có thể có kết quả này với số mũ tổng quát hay ko nhé

Cho a,b,c,d là các số tự nhiên thõa mãn ab=cd.

CMR a+b+c+d là hợp số

1, Cho a,b,c là ba số nguyên dương đôi một khác nhau thóa mãn a³+b³+c³chia hết cho P=a+b+c. CMR P là hợp số

2, Cho hai số tự nhiên m,n thõa mãn m+n+1 là một ước số nguyên tố của 2(m²+n²)-1. Chứng minh m=n 

Anh thử phát biểu BĐT Holder cho em bằng một cách dễ hiểu, đọc trong sách khó hiểu quá.Chứng minh luôn anh nhé

Cho (O;R), A là một điểm ngoài đương tròn. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B,C là tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E). Kẻ OI vuông góc DE

1, CM A,B,I,O,C cùng thuộc một đường tròn

2, AB²=AD.AE

3, IA là phân giác góc BIC

4, BD.BE=BE.CD

5, Gọi H là giao điểm của AO và BC. CM DHOE nội tiếp

    Mở rộng: Khi cát tuyến ADE thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DHE thuọc một đường cố đinh

6, HB là phân giác góc DHE

7, Khi ADE thay đổi, đường tròn ngoại tiếp AEF đi qua điểm cố định

8, HB².AE=HE²AD

9, Khi A thay đổi trên cát tuyến ADE cố đinh:

    9a, BC đi qua điểm cố định

    Mở rộng:Tâm đtròn ngt tam giác AHI thuộc đường cố đinh

    9b, BI cắt (O) tại M. Chứng minh MC//DE

Các bạn còn có câu nào nữa thì tiêp tục tham gia nhé! 

Giải hệ pt:

Lấy pt (1)-pt(2) ta có:$\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=x+y\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})=x^{2}+2xy+y^{2}\Leftrightarrow (x-y)^{2}=0\Leftrightarrow x=y$

Thay x=y vào hệ ta tìm được nghệm là x=y=4

Câu hệ pt còn có cách giải khác:

Đăt S=$\sqrt{x}+\sqrt{y}\Rightarrow S=4 ;P=\sqrt{xy} \Rightarrow x+y=16-2P$

Thay vào pt (1) $\sqrt{(x+y)^{2}-2xy}+\sqrt{2}\sqrt{xy}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{(16-P)^{2}-2P^{2}}+\sqrt{2}.P=8\sqrt{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow P=4$