ê, đề đâu mọi người    

bạn khanghaxuan làm sai rồi, đáp số là n lẻ và là bội của 3

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

 

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

 

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

 

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

 

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

 

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                    

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

 

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

 

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

 

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

 

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

 

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

 

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 

sai rồi bạn ơi!!! n là số lẻ chia hết cho 3, bài này dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1 :  

 

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

 

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

 

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

 

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

 

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

 

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

 

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

 

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

 

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

 

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

 

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 

Câu a của cậu cũng sai luôn rồi!!! Có đến mấy chỗ cậu ngộ nhận luôn. Làm gì có chuyện hàm không tăng thì là hàm giảm??? Nếu như xét TH như vậy thì đang còn thiếu TH, lỡ dãy nãy đánh võng quanh số 1 thì cậu làm sao???

Dùng fermat để CM bổ đề sau với x,y không cùng chia hết cho ước số nào có dạng 4k-1 thì $x^{2}+y^{2}$ cũng ko có ước dạng 4k-1.

cái đấy là để cm chiều thuận, còn chiều đảo mới khó, cậu thử cm chiều đảo đi

Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:

gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9.2^{2^{k+1}}\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$

áp dụng đồng dư cho phần dư sau.

sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem

Câu 1: Cho $\large \left ( a-1 \right )$ và $\large \left (1-b\right )$ thỏa mãn phương trình $\large x^{3}+2x-2013=0$. Tính $\large a+b$

Câu 2: 

1.      Giải phương trình: $\large \left ( x-2 \right )\left ( x^{2}+6x-11 \right )^{2}=\left ( 5x^{2}-10x+1 \right )^{2}$

2. Giải hệ phương trình: $\large \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3 & & \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=9 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho x,y là các số tự nhiên khác 0. Tìm GTNN của biểu thức $\large A=\left | 36^{x}-5^{y} \right |$

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi $\large \left ( O_{1};R_{1} \right )$ là đường tròn đường kính AD và $\large \left ( O_{2};R_{2} \right )$ là đường tròn đi qua A và tiếp xúc vứi CD tại C. Gọi E là giáo thứ 2 của hai đường tròn.

 

1. CMR: Tứ giác BDCE nội tiếp

2. Gọi I là trung điểm của CD. CMR: A,E,I thẳng hàng. Tính góc BCE biết CD=2AD

3. Gọi H là giao của $\large O_{1}O_{2}$ với AE. CMR: $\large \frac{ID}{IH}=\frac{O_{1}O_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ và từ đó suy ra E là trong tâm tam giác ACD khi và chỉ khi $\large O_{1}O_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left ( R_{1}+R_{2} \right )$

Câu 5: Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả cáddueoengf thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. CMR: Luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P. 

 

 

Kiểu này thì tạch cmnr!

bài 3 và bài 4c rất dễ

Bài 3:

Dễ thấy A tận cùng bằng 1 hoặc 9

mà A NGUYÊN dương.

TH1: A=1 <=> $36^{x}>5^{y}$

$36^{x}$ chia hết cho 4 và $5^{y}$ chia 4 dư 1 nên A chia 4 dư 3   (mâu thuẫn)

TH2: A=9<=>$5^{y}>36^{x}$

$5^{y}$ không chia hết cho 3 và $36^{x}$ chia hết cho 3 => A không chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

TH3 A =11. tồn tại x=1, y=2 thỏa mãn

Vậy min A=11<=> x=1, y=2

làm sao để vẽ được hình nhỉ. Bà con chỉ tôi với!!!! câu 4c dùng toán diện tích là ra. Dễ lắm

câu 2a có cách ngắn hơn không???

sao bài 7 đề 1 đằng lại làm 1 nẻo???    

Bài 7 giải như này nè:

 

                                             $5x-2\sqrt{x}(2+y)+y^{2}+1=0 (1)$ ĐKXĐ $x\geq 0$.

Đặt $\sqrt{x}=a$ , $a\geq0$ ta có phương trình

                                             $5a^{2}-2(2+y)a+y^{2}+1=0 (2)$

Xem phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn a ta có:

                         $\Delta =\left [ -2(2+y) \right ]^{2}-4(y^{2}+1)5$

                                    $=-4(2y-1)^{2}\leq0$  với mọi y

Để phương trình (2) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta = 0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$.

Thay vào (1) tìm được $x=\frac{1}{4}$

sao đề ra một đằng lại làm một nẻo la thế nào???              

Bài 9

đkxđ: $x^{2}+3x+1\geq 0$

pt <=> $(x+3)(\sqrt{x^{2}+1}-x)=1$   (1)

TH1: $\sqrt{x^{2}+1}+x=0$ đây là pt vô nghiệm

TH2: $\sqrt{x^{2}+1}+x$ khác 0 .Nhân cả 2 vế của pt 1 với $\sqrt{x^{2}+1}+x$ ta có

                $x+3=\sqrt{x^{2}+1}+x <=> ....<=>x=2\sqrt{2};x=-2\sqrt{2}$

Bài 17: Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}$

sao lại kinh khủng nhỉ? rất đẹp mà

Bài 8

ĐKXĐ: $x\geq -3$

 Đặt $\sqrt{x+8}=a; \sqrt{x+3}=b$ với $a>b\geq 0$ . pt đã cho trở thành$(a-b)(ab+1)=a^{2}-b^{2}$

chia cả 2 vế của pt trên cho $a-b$ khác 0 ta có

    $ab+1=a+b$ <=> $(a-1)(b-1)=0 <=> a=1; b=1$

Với a=1 thì x= -7 (ktm)

Với b=1 thì x=-2   (tm)

   Vậy x= -2

Câu 12:Cho x,y,z là ba số nguyên liên tiếp.Chứng minh phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2013$ vô nghiệm

 

Câu 13:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$\sqrt{x^{2}-4x+3}$

 

Câu 14:a)Chứng minh rằng n$^{3}$-n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ

             b)Cho a,b,c là các số thức dương thỏa điều kiện:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

Chứng minh rằng nếu c$c\geqslant a$ và $c\geqslant b$ thì $c\geqslant a+b$

 

                                                               

 

THÀNH CÔNG CHỈ ĐẾN VỚI NHỮNG

 

NGƯỜI BIẾT NỔ LỰC HẾT MÌNH

                                                                  

 mấy câu này cũng dễ mà !

viết lại cái yêu cầu bài 14b với. nhìn kĩ xem nào

Bài 15: Giải phương trình: $\frac{2x}{3x^{2}-5x+2}+\frac{13x}{3x^{2}+x+2}=6$.

 

Bài 16: Cho biểu thức $B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2}-13x+2014$.

            Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của B khi $x=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$. 

Bài 16 nè! 

 phân tích B=$(x-1)(x+1)(x-2)\left [(x-2)^{2}+1 \right ]+2004$

dễ dàng tính được $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ thay vào B TA TÍNH được B=2009

THấy hay thì like mạnh cái !!!!      

lập phương 2 vế là xong

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-9}-\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2x^2-18}+x+3\sqrt{2})=0$

giải kĩ hơn được không bạn?

giải phương trình:$x+\frac{3x}{\sqrt{x^{2}-9}}=6\sqrt{2}$        

Làm sao có thể phân tích về được như vậy thế bạn?

HIểu rồi: Đạt $\sqrt{x^{2}-9}$ = y.

Nhân cả 2 vế với y được: xy + 3x = y6$\sqrt{2}$ sau đó bạn chuyẻn vế rồi thêm bớt 9$\sqrt{2}$.

sao bạn nghĩ ra vậy?

bạn 

xét x=y=0, pt thú hai <=> 0=1 (đây là đăng thức sai) nên x và y không đồng thời bằng không

         pt thứ nhất <=> $(x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$

                           <=>$(x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0$

mà $x^{2}-xy+y^{2}=0<=>(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$  (1)

   vì pt (1)  có  $(x-\frac{y}{2})^{2}\geq0$       nên   VT$\geq$VP=0

                       $y^{2}\geq 0$

 Dấu "=" xảy ra khi x=y=0 (điều này không xảy ra)=>$x^{2}-xy+y^{2}>0$

         Suyra : x-y=0 <=> x=y . thay vào pt thú hai của hệ có $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1 <=> x=1 ,<=> x=y=1$

               Vậy    x=y=1

Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất sau

Với một số nguyên tố $p$ bất kì, luôn tồn tại một số $a$ sao cho $p-1$ là số $x$ nhỏ nhất thoả mãn $a^{x}-1$ chia hết cho $p$

Dễ dàng chứng minh kết quả này bằng cách để ý số nghiệm của phương trình không vượt quá số mũ.

 

Nhận thấy với mọi $a$ thì $a^{25}-a$ đều chia hết cho $p$ với $p=2,3,5,7,13$ và sử dụng kết quả trên thì ngoài các số nguyên tố này sẽ không còn số nào là ước của tất cả các số dạng $a^{25}-a$ nữa.

 

Mặt khác với $a=p$ thì $a^{25}-a$ không chia hết cho $p^2$, do đó số phần tử của $S$ là $2^{5}=32$

tớ thấy không ổn, với a=2015! chẳng hạn

someone solves the exercise 4, please

Năm nay thi quá sớm...  và có sự kì lạ là nó mang tính Hình thức cao !  Không công bố điểm ... ( độ bí mật và nguy hiểm cao) 

 

sakura.PDF

có ai giải được bài 4 không

Bài 2. Lấy $x=y=0$ ta được $f(0)=0$. Ta có:

$f'(x)=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(y)+2xy}{y}=f'(0)+2x$

Đặt $a=f'(0)$ thì ta có $f'(x)=2x+a\Rightarrow f(x)=x^2+ax+b$

Kết hợp với $f(0)=0$ cho ta $f(x)=x^2+ax$

Hàm f đâu có liên tục mà bạn lại lấy đạo hàm

Cách giải của tôi:

Đặt  $g(x)=f(x)-x^{2}$    thay vào ta có: $g(x+y)=g(x)+g(y)$ => $g(x)=ax$ (theo phương trình hàm Cauchy)=> $f(x)=ax+x^{2}$. Thử lại thấy đúng

Vậy ta có f(x)

Vì $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên có liên tục trên $\mathbb{R}$

à, tờ không để ý, nhưng nếu không có đạo hàm thì kết quả vẫn không đổi