Thế hóa ra chọn cặp mod tài năng nhất à :3

mình nghĩ nên phân ra nhiều giải 

À, bạn Math Hero đã biết cách đặt tiêu đề đúng chưa vậy?

mình thấy bài viết này rất hay nên đưa vào mục chú ý

Tìm các số nguyên dương n, k sao cho: $n^{3}-2=k!$

với k=0,1,2 thì pt vô nghiệm

với k>2 thì $k!\vdots 2$ nên$a^{3}\vdots 2$$\Rightarrow a^{3}\vdots 8$

$\Rightarrow n^{3}-2$ ko chia hết cho 4

$\Rightarrow k< 4$

với k=3 thì n=2(tm)

cặp mod 001,004 là cặp trai tài gái sắc của trường mình đấy

cái này chắc chắn hot girl Hiếu A (004) giật giải rồi

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

25 $pt\Leftrightarrow x^{2}=(\sqrt{2x-1}+1)^{2}$

đến đây xét các TH là ra

26 đặt $\sqrt[3]{2x-1}=t$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & t^{3}=2x-1 & \\ & x^{3}=2t-1 & \end{matrix}\right.$

đến đây trừ vế vế là ra

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

23 Đặt $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=t$

ta có $t^{2}=4x-3+2\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

pt trơt thành $t^{2}-t-6=0$

24 đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}= t$

pt trở thành

$5t= 2t^{2}+2$

đến đây xét các TH là ra

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

20 đặt $\sqrt[3]{24+x}=a,\sqrt{12-x}=b$

ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} & a^{3}+b^{2}=36 & \\ & a+b=6& \end{matrix}\right.$

đến đây rút thế là ra

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132 $bdt\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}(x-y)$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x^{2}+y^{2})-16$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

126$bdt\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2\geq 0$

đặt $t= \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

ta có

$t^{2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $t\geq 2$ hoặc $t\leq - 2$

lúc đó 

$bdt\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS30 canhhoang30011999

Thay $x=1,y= 2$ vào phương trình trên ta có

$\sqrt{2025.1^{2}+2012.1+3188}=2013.1-2011.2+2094$

$\Leftrightarrow 85= 85$(khẳng định đúng )

Vậy tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thỏa mãn phương trình đã cho $(x=1,y=2)$

    d = 9

    S = 17+ 9x3= 44

1) CM: $-\sqrt{\frac{31}{3}}\leq 3a-2b$ với $a^2+3b^2=1$ và $a,b$ là hai số thực.

 

2) Chứng minh rằng với mọi $x\in \left [ -1,1 \right ]$, ta có:

 

$-5\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq 5$

 

3) Cho $a,b,c>1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

 

4) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

 

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

 

Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

5) Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

 

P/s: mọi bài đều có thể áp dụng BDT bunyakovsky

5 đề là $\sum \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{1}{3}$

ta có $\frac{a^{3}}{(a^{2}+b^{2}+a^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{3}}{(a^{2}+ab+ac)^{2}}$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a}{(a+b+c)^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^{2}}= \frac{1}{3}$

1) CM: $-\sqrt{\frac{31}{3}}\leq 3a-2b$ với $a^2+3b^2=1$ và $a,b$ là hai số thực.

 

2) Chứng minh rằng với mọi $x\in \left [ -1,1 \right ]$, ta có:

 

$-5\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq 5$

 

3) Cho $a,b,c>1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

 

4) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

 

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

 

Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

5) Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

 

P/s: mọi bài đều có thể áp dụng BDT bunyakovsky

2

áp dụng bđt bcs ta có

$(3x+4\sqrt{1-x^{2}})^{2}leq (9+16)(x^{2}+1-x^{2})= 25$

$\Rightarrow (3x+4\sqrt{1-x^{2}})\leq 5$

ta có $3x+\sqrt{1-x^{2}}\geq -3(x\geq -1)$

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

 

 

6) Cho ab,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. CM:

 

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

 

 

 

6

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+b)\frac{2}{3}}\leq 2$

$\sum \sqrt{(a+b)\frac{2}{3}}\leq \sum \frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}$$= 2$

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

115

3-s=$\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}= \frac{9}{4}$

$s\leq \frac{4}{3}$

116 $\frac{4a^{2}}{(a-1)1}\geq \frac{16a^{2}}{a^{2}}= 16$

tương tự ta có đpcm

117$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum 2a^{2}-\sum ab \geq \sum ab$}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

3b

$gt\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)= b^{2}$

giả sử $(a-b,2a+2b+1)=k$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & 2a+2b+1\vdots k& \\ & a-b\vdots k& \\ & b\vdots k & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1\vdots k$

$\Rightarrow (a-b,2a+2b+1)= 1$

$\Rightarrow 2a+2b+1$ là số chính phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

5

$gt\Leftrightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}= 7$

đặt $\frac{1}{c}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{3}{a}= z$

ta có $2(x+y+z)=7$

lại có

$C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}$

$\geq \frac{(2+3+2)^{2}}{2(x+y+z)}= 7$

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

3b 

$\left\{\begin{matrix} & 3x^{2}+2y^{2}+x+8y-4xy=0 &(1) \\ & x^{2}-y^{2}+2x+y-3=0& (2) \end{matrix}\right.$

nhân 2 vế của (2) rồi trừ vế vế ta có

$(x-2y)^{2}-3(x-2y)+2= 0$

đến đây xét các TH là ra

Đề thi hsg HY 2013-2014 mới thi sáng hơi kém

2.2

nhân 2 vế của 2pt ta được 

$-9(4x^{3}-y^{3})= (x+2y)(52x^{2}-82xy+21y^{2})$

$\Leftrightarrow 88x^{3}+22x^{2}y-143xy^{2}+33y^{3}= 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)(4x-y)= 0$

đến đây xét các th là ra

Đề thi hsg HY 2013-2014 mới thi sáng hơi kém

3.2

$a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c}$

$= \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{4}c+\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}b+\frac{9}{8b}+\frac{1}{4}c+\frac{1}{c}$

$\geq \frac{1}{4}.10+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1= \frac{13}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=1,b=\frac{3}{2},c= 2$

Bài 1:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

3 $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ta cần cm $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(luôn đúng)

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

bạn bị ngược dấu rồi 

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự ta có $\sum 2\frac{a}{\sqrt{b}}\geq 3(a+b+c)-ab-bc-ca$

ta cần cm

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+3\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leq 0$

lai có $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= 3$

nên bđt luôn đúng

vậy ta có đpcm

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$