Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự ta có $\sum 2\frac{a}{\sqrt{b}}\geq 3(a+b+c)-ab-bc-ca$

ta cần cm

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+3\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leq 0$

lai có $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= 3$

nên bđt luôn đúng

vậy ta có đpcm

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

220

pt$\Leftrightarrow 2x+3+2\sqrt{x(x+3)}= y^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{4x(x+3)}$ là số nguyên

$\Rightarrow 4x^{2}+12x= t^{2}$

$\Rightarrow (2x+3)^{2}= t^{2}+9$

$\Rightarrow (2x+3-t)(2x+3+t)= 9$

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

 

p, x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = y²

 

p ta có

$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3> x^{4}+2x^{3}+x^{2}$

nếu $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3\geq (x^{2}+x+1)^{2}$

thì $(x+1)(x-2)\leq 0$

nếu $(x+1)(x-2)> 0\Rightarrow (x^{2}+x+1)^{2}> y^{2}> (x^{2}+x)^{2}$(vô lý)

nếu x=-1 thì y²=3(loại)

nếu x=0 thì y²=3(loại)

nếu x=1 thì y=3 ,y=-3

nếu x=2 thì y²=45(loại)

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

a, $8x+11y=73$

b, $5x-3y=2xy-11$

c, $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}=y^{2}$

d, $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2003^{4}$

e, xyz = 9 + x + y + z và x, y, z >0

g, $x^{3}-x^{2}-2xy=y^{3}+y^{2}+100$

h, 5 (x + y + z + t) + 10 = 2xyzt  và x, y, z, t là các số dương

i, 2^x  + 3^x = 5^x với x không âm

k, 19x² + 28y² = 729 với x, y nguyên dương

l, 9x + 5 = y(y+1)

m, 2016x + 3 = y³

n, 2x² + 4x = 19 - 3y²

p, x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = y²

r, x³ + 2y³ = 4z³ (sử dụng phương pháp lùi vô hạn)

s, x³ + y³ + z³ = (x + y + z)² với x, y, z đôi một khác nhau

t, x³ - y³ = xy + 8

u, 6x + 15y + 10z = 3

v, 2^x + 57 = y²

w, 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

i $pt\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{3}{5} \right )^{x}= 1$

nếu x>1 pt vô nhiệm 

nếu x<1 pt vô nghiệm vậy x=1

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

g pt $\Leftrightarrow (x^{2}+3x)(x^{2}+3x+2)= y^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+3x+1)^{2}-1= y^{2}$

$\Rightarrow (x^{2}+3x+1),y^{2}$ là 2 số chính phương liên tiếp

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & (x^{2}+3x+1)^{2}=1 & \\ & y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

ta có

$ \prod (a+b-c)\leq \prod a$

$ \Rightarrow \prod (1-2c)\leq abc$

$ \Rightarrow 1+4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)-8abc\leq abc$

$ \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+2(a+b+c)-1$$ \leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}+2(a+b+c)-1 =\frac{28}{27}$

$ \Rightarrow ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

 

Bài 170: Với $a,b,c$ là những số thực dương, chứng minh rằng:

$P=\sum \frac{a^3b}{ab^2+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

+y^2+z^2}$

 

170 ta có

$P=\sum \frac{a^{3}b}{ab^{2}+1}= \sum \frac{a^{3}bc}{ab^{2}c+c}$

$= abc\sum \frac{a^{2}}{ab^{2}c+c}\geq \frac{abc(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(abc+1)}= \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh rằng: $\frac{ab}{ac+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}$

166)
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{bc+a(a+b+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4\sum bc(b+c)\geq 6abc+3\sum bc(b+c)$

$\Leftrightarrow \sum bc(b+c)\geq 6abc$(đúng theo cô-si)

 

$197)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=2$. Cmr: $\sum \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}\leq 1$

 

ta có VT=$ \sum \frac{ab}{\sqrt{(a+b+c)c+ab}}=\sum \frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq\sum \frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=1$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

$196)$ Cho $a;b>0$. Tìm Min $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}$

 

ta có $P=\frac{3(a+b)}{\sqrt{9a(4a+5b)}+\sqrt{9b(4b+5a)}} $

$\geq \frac{3(a+b)}{\frac{9a+4a+5b+9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b

 

$198)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

 

 

c2 ta có $Vt \geq 2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}}$

ta cần cm

$2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}} \geq \frac{6}{a+b+c}$

$<=> \frac{3}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

$<=> (a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

tìm Max:$3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

ta có $3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ $\leq 3\frac{2x-1+1}{2}+\frac{x^{2}+5-4x^{2}}{2}$

$=\frac{6x+5-3x^{2}}{2}=\frac{-3(x-1)^{2}}{2}+4 \leq 4$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=1

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

126$bdt\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2\geq 0$

đặt $t= \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

ta có

$t^{2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $t\geq 2$ hoặc $t\leq - 2$

lúc đó 

$bdt\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

bạn bị ngược dấu rồi 

Bài 1:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

3 $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ta cần cm $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(luôn đúng)

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132 $bdt\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}(x-y)$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x^{2}+y^{2})-16$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

$155.a$

$\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}-1= \frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{b^{2}+c^{2}}$

$= \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{b^{2}+c^{2}}> 0$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài 155: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:

$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

155

$\frac{4}{2(a+3b)}+\frac{1}{b+3c}+\frac{16}{4(c+3a)}\geq \frac{49}{14a+2b+2c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài 159: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{4z-7y}{x+2y}+\frac{5x-5z}{y+3z}+\frac{3y-11x}{z+4x}\geq -3$

bđt $\Leftrightarrow \frac{4x+y+4z}{x+2y}+\frac{5x+2y+zz}{y+3z}+\frac{x+3y+3z}{z+4x}$$\geq 6$

đặt $x+2y=a,y+3z=b,z+4x=c$

bđt trở thành $\sum \frac{b+c}{a}\geq 6$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$(luôn đúng)

p/s:bài thứ 400 của mình

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

115

3-s=$\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}= \frac{9}{4}$

$s\leq \frac{4}{3}$

116 $\frac{4a^{2}}{(a-1)1}\geq \frac{16a^{2}}{a^{2}}= 16$

tương tự ta có đpcm

117$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum 2a^{2}-\sum ab \geq \sum ab$}$

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

Cho em hỏi giao diện của diễn đàn hiện tại là thế này hay máy em bị lỗi ạ

Trên thanh địa chỉ em thấy có chữ https, em bỏ chữ 's' đi để còn http thôi rồi nhấn enter xem có được không nhé.

chắc sau khi sửa cái link cũ của em bị hỏng vì nếu em ấn vào chữ  Trang chủ trong hình thì vẫn vào được

Bài 23 (Romania JBMO TST 2016). Với $m,n$ là hai số tự nhiên và ba số thực $x,y,z$ thuộc $[0,1].$ Chứng minh rằng
\[0 \leqslant x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}-x^my^n-y^mz^n-z^mx^n \leqslant 1.\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
 

Bài 24 (China Junior High School Mathematics League). Cho ba số thực $x,y$ và $z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $xy+2yz+3zx.$
 

24 ta chứng minh $xy+2yz+3zx \leq \frac{3} {4}$

tức là chứng minh $(x+y+z)^{2}\geq \frac{4}{3}(xy+2yz+3zx)$

hay $x^{2} +x(\frac{2}{3}y-2z)+y^{2}+z^{2}-\frac{2}{3}yz \geq 0$ với mọi $x$ thuộc R

tức là $\bigtriangleup \leq 0$

hay $\frac{-32}{9}y^{2} \leq 0$(luôn đúng)

dấu bằng xảy ra khi $x=z=\frac{1}{2},y=0$