Bài 5: Cho ba số dương a,b,c thảo mãn $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=2$.Chứng minh bất đẳng thức

$$\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}}\leq1$$

Bài 6 :Cho a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2$ khác không. Chứng minh rằng 

$$\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2} \geq 0$$

Bài này sử dụng tiếp tuyến.
Ta dễ dàng có được đánh giá :
\[\frac{1}{{2 + 6{a^2} + 9{a^4}}} \ge - \frac{{48}}{{289}}\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{{17}}\]
Tương tự với $b$ rồi cộng lại ta được:
$P \ge \frac{2}{{17}}$. Dấu = khi $a=b=1$.

Cách giải khác cho bài này

Sử dụng BĐT phụ $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}$ với $x,y\ge1$ ta có

$P=\frac{1}{1+{(3a^2+1)}^2}+\frac{1}{1+{(3b^2+1)}^2}\ge\frac{2}{{(3a^2+1)}{(3b^2+1)}}$

ta có $1+(3a^2+1)(3b^2+1)=9t^2-6t+14\le17$ với $t=ab$ và t thuộc đoạn từ 0 đến 1

Từ đó suy ra $P\ge\frac{2}{17}$ .Dấu = xảy ra khi $a=b=1$

Bài toán 22 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$$
(Trích đề thi thử số 4 TH&TT số 427)

Bài toán 23 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\frac{3\left ( b+c \right )}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12\left ( b-c \right )}{2a+3c}$$

Mình thử làm bài toán 23

$$P+11=\frac{3(b+c)}{2a}+2+\frac{4a+3b}{3b}+1+\frac{12(b-c)}{2a+3c}+8$$

$P+11=(4a+3b+3c)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c}\right)\geq(4a+3b+3c)\left(\frac{16}{{(4a+3b+3c)}}\right)=16$

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của$P=5$. Dấu = xảy ra khi$c=0$ và $2a=3b$

 

1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

 

2.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geqslant\frac{1}{4}$

 

các bạn giúp mình với mình định làm bài này bằng phương pháp sừ dụng đạo hàm

 

Mình làm bài 2 bằng cách này , mọi người xem có đúng không?

Xét hàm số $f(yz)=x^3+y^3+z^3+6xyz-\frac{1}{4}=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)+6xyz-\frac{1}{4}=x^3+(1-x)^3-3yz(1-x)+6xyz-\frac{1}{4}=(9x-3)yz+x^3+(1-x)^3-\frac{1}{4}$

*Với $x=\frac{1}{3}$ thì$f(yz)=\frac{1}{12}\geq0$. Suy ra trường hợp 1 thỏa mãn

*Với x khác $\frac{1}{3}$ thì$f(yz)$ là hàm số bậc nhất ẩn $yz$ , tham số $x$

Ta có $$yz\leq\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(1-x)^2}{4}$$

Khi đó ta có điều kiện của $yz$ là $yz\leq\frac{(1-x)^2}{4}$ và $yz\geq0$

Ta có $f(0)=3(x-\frac{1}{2})^2\geq0$ với mọi $x$      (1)

mặt khác $f(\frac{1-x)^2}{4})=\frac{3x}{4}(x^2-x+\frac{1}{3})\geq0$ với mọi $x\leq1 và x\geq0$   (2) 

Từ (1)(2) suy ra $f(yz)\geq0$

Kết hợp cả hai trường hợp ta có điều phải chứng minh

Bài 1 cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $ab\geq12$ và $bc\geq8$.Chứng minh rằng

$$(a+b+c)+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+\frac{8}{abc}\geq\frac{121}{2}$$

Bài 2.Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 1,chứng minh rằng:

$$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq\frac{10^3}{9^3}$$

Mọi ngưòi cho mình hỏi về lời giải của bài toán 5(trang 6) trong bài viết về phương pháp dồn biến của tác giả Phan Thành Việt, sao ở trường hợp 2 x>0 thì y và z cũng>0, và tại sao lại xét $x\geq\frac{3}{4}$ mà không xét tại giá trị khác???? .Mọi người giúp mình nhé

Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số dương có tích bằng 1 thì ta có bất đẳng thức sau

$$(a+b)(b+c)(c+a)\geq4(a+b+c-1)$$

Cho $x,y,z $ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$.Chứng minh rằng

$$ x+y+z\leq2+xyz$$

@:Mod:Chú ý tiêu đề nhé

Cho $x,y,z$ là các số không âm  thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng 

$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$

Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.

BĐT sai khi cho a=1,b=c=0,9

Quên mất đk là abc=1

a=1,b=c=0.9 không dương à?

sorry, thiếu điều kiện abc=1

đề bài có vấn đề vói x=1,y=z=0 thì ko thỏa mãn bạn à

sorry, x,y,z dương

Cho 2 số a, b thoả mãn $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ =2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q=$\frac{1}{a^{4}+b^{2}+ 2ab^{2}}+ \frac{1}{b^{4}+a^{2}+2ba^{2}}$

$P\geq\frac{4}{a^4+b^4+a^2+b^2+2ab(a+b)}=\frac{4}{(a+b)^4+(1-4ab)(a+b)^2+2(ab)^2+2ab(a+b-1)}$

Đặt $a+b=x$ , từ điều kiện suy ra $ab=\frac{x}{2}$, x>2.

Khi đó $$P=\frac{4}{x^4+(1-2x)x^2+\frac{x^2}{2}+x(x-1)}$$

Khảo sát mẫu số của p với $x\geq2$ là xong

$2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2} -x\right )y^{^{2}}$

$\sqrt{x-y^{2}}+x=3$

Đặt $a=xy^2+1,b=y^2$ thì từ PT1 ta có

$$2a+2(\sqrt{2}-3)b=\sqrt{a^2-b^2}$$

Chứng minh rằng với $x,y,z$ là các số thực bất kì thì ta có

$$6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq27xyz+10\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$$

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn$ab+bc+ca+6abc=9$,chứng minh rằng:

$$a+b+c+3abc\geq6$$

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn$ x^2+y^2+z^2=9$.CMR

$$2(x+y+z)-xyz\leq10$$

Bài 1: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3-5x^2+y^2-6x-11=0 & \\ x^2+x=\frac{3\sqrt{y^2-7}-6}{\sqrt{y^2-7}} & \end{matrix}\right.$

ĐK: $y^2\geq7$

Đặt $a=x^2+x-3;b=\sqrt{y^2-7}$ , ta đượcHPT

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=13 & \\ ab=-6 & \end{matrix}\right.$

Cho a, b , c dương thỏa a+ b+c=3abc .CM:$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\geq 3$

Cho x$\geq$ 0 , y$\geq$0 thỏa $2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 .CM: x+y\geq \frac{1}{5}$.CMR:

Mình làm bài thứ 2

Ta có$x+y-\frac{1}{5}=x+(2\sqrt{x}-1)^2=5(\sqrt{x}-\frac{2}{5})^2\geq0$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Cho a, b , c dương thỏa a+ b+c=3abc .CM:$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\geq 3$

Cho x$\geq$ 0 , y$\geq$0 thỏa $2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 .CM: x+y\geq \frac{1}{5}$.CMR:

Bài đầu

Ta có $$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+1+1+1\geq\frac{5}{ab}$$

Tương tự suy ra $2VT\geq5(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-9=15-9=6$

suy ra điều phải chứng minh, dấu= xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng 

$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leq\frac{3}{2}$$

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{6}$$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a^2+abc}+\frac{1}{b^2+abc}+\frac{1}{c^2+abc}\geq\frac{3}{2}$$

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$