Gọi $a; b; c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác không có góc tù và $x; y; z$ là các số thực bất kì. Chứng minh:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\geq \frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}$.

Cho số thưc $x$ thay đổi thỏa mãn điều kiện: $x^2+(3-x)^2\geq 5$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$: $x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua trọng tâm G cắt tia đối của tia BC ở A', cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại B';C'. Chứng minh rằng: $\frac{1}{GB'}+\frac{1}{GA'}= \frac{1}{GC'}$

Mình đang học lớp 8 nhưng các bạn chỉ dùng đến định lý Ta-lét thôi (đừng dùng tam giác đồng dạng)

Thanks

Cho $2011$ số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{2011}$ thỏa mãn:

$\frac{1}{a_{1}^{11}}+\frac{1}{a_{2}^{11}}+\frac{1}{a_{3}^{11}}+...+\frac{1}{a_{2011}^{11}}=\frac{2011}{2048}$

Tính tổng:

$M=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+\frac{1}{a_{3}^{3}}+...+\frac{1}{a_{2011}^{2011}}$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $\bigtriangleup ABC$ có $\angle C$ tù và$\angle A=2\angle B$. Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $\angle AMC=\angle BMD$.

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

Giải phương trình $-x^2+3x+\sqrt{2-x^{4}}-3=0$

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

$\frac{5x}{3}-y=\sqrt{3x+2}-\sqrt{2x-1}$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, qua điểm $M$ trên cạnh $AC$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh $AB$ và $BC$ cắt $BC$ và $AB$ tại $E$ và $F$. Xác định vị trí điểm $M$ để $S_{AEM}+S_{MFC}$ $min$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho hình chữ nhật $MNPQ$, $H$ là hình chiếu của $N$ lên $MP$, $S$ nằm giữa $M$ và $H$. Hai đường cao $SA$ và $NH$ của $\bigtriangleup NSP$ cắt nhau tại ở $B$, đường thẳng vuông góc với $SN$ tại $S$ cắt $QP$ tại $I$.

a, Chứng minh $\bigtriangleup BHS\sim \bigtriangleup MQP$.

b, Giả sử $S$ là trung điểm của $MH$. Chứng minh $I$ là trung điểm PQ và $\frac{SH.MQ}{BN.IP}= 2$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Lấy A,B,C,D thuộc đường thẳng xy sao cho $\frac{AB}{BC}= \frac{5}{7};\frac{BC}{CD}=\frac{7}{9}$. Tính AB,BC,CD biết AD=84cm.

Thanks

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho các số thực dương $a; b; c; d$. Chứng minh:

$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

Tìm $m$ để phương trình $(x-m)^2[m(x-m)^2-m-1]=-1$ có nghiệm dương nhiều hơn nghiệm âm.

Các bạn giải hộ mình nhé:

Hình thang ABCD có M là giao điểm của AC,BD, K là giao điểm của AB và DC. P,L theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh K,P,L,M thẳng hàng

Mình đang học lớp 8 nhé

Thanks

Tìm số tự nhiên $m$ biết rằng khi bỏ đi $3$ chữ số tận cùng bên phải của nó thì được một số mới có giá trị bằng $\sqrt[3]{m}$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho tam giác $ABC$, Xác định điểm $M$ trong tam giác$ABC$ sao cho $AM.BC+BM.CA+CM.AB$ đạt $min$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

 $GT\Leftrightarrow (x^2+2xyz+y^2z^2)+2(z^2+2xyz+x^2y^2)+3(x^2y^2z^2-2xyz+1)= 9\Leftrightarrow (x+yz)^2+2(xy+z)^2+3(xyz-1)^2=12\Leftrightarrow 3(xyz-1)^2\leq 12\Leftrightarrow -2\leq xyz-1\leq 2\Rightarrow xyz\geq -1$. .

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

Cho tam giác $ABC$ cân ở $B$. Qua $B$ vẽ đường thẳng $xy//AC$. Lấy điểm $O$ di động trên đường thẳng $xy$ rồi vẽ $(O)$ tiếp xúc với $AC$ ở $D$ và cắt $AB$ ; $BC$ ở $E$ ; $F$. Chứng minh $\angle EDF$ không đổi.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $x; y; s$ là các số dương; trong đó $s=min\left \{ x;y;\frac{1}{x};\frac{1}{y} \right \}$

Tìm giá trị lớn nhất của s.

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

Chứng minh rằng nếu $2n+1$ và $3n+1$ là các số chính phương thì $n\vdots 40$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+b+c}}\geq 3\sqrt{2}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks

I. Chứng minh:

1, $a^3+b^3+c^3<\sum a(b-c)^2+4abc$ (với $a; b ;c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác)

2, $\sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$ (với $0\leq a; b; c \leq 1$ )

3, $\sum \frac{a^3+abc}{b+c}\geq a^2+b^2+c^2$ ($a; b; c$ không âm)

4, 

II. Tìm:

1, GTLN của $P=\sum \frac{x^2}{4x^3+3yz+2}$ ( $x; y; z$ không âm)

2, GTNN của $y+t$ với $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=1 & \\ z^2+t^2=2& \\ xt+yz\geq 2& \end{matrix}\right.$

III. Tồn tại hay không một tam giác với độ dài các đường cao là $1; \sqrt{5}; 1+\sqrt{5}$ ?

I, 1,

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$[a(b-c)^2-a^3]+{[b(a-c)^2+2abc]-b^3}+[c(a-b)^2-c^3]> 0$

$\Leftrightarrow [a(b-c)^2-a^3]+[b(a+c)^2-b^3]+[c(a-b)^2-c^3]>0$

$\Leftrightarrow a(b-c-a)(b-c+a)+b(a-b+c)(a+b+c)+c(a-b-c)(a+b+c)>0$

$\Leftrightarrow a(b-c-a)(b-c+a)+(a-b+c)(ab+b^2+ac-c^2)> 0$

$\Leftrightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)> 0$ (đúng vì $a; b; c$ là ba cạnh của 1 tam giác)

I, 2,

Không mất tính tổng quát, giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

$\Rightarrow b+c+1\geq a+c+1\geq a+b+1\geq 1$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq  \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}\leq \frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)}{a+b+1}$

$\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}= 1$

II, 1,

Ta có $4x^3+2=2x^3+2x^3+2\geq 6x^2\Rightarrow 4x^3+3yz+2\geq 6x^2+3yz$

Tương tự .......... 

Xét các trường hợp sau:

+) $xyz=0$   

+) $xyz >0$

$P\leq \sum \frac{x^2}{6x^2+3yz}\leq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{2+\frac{yz}{x^2}}$ ........

III,

Giả sử tồn tại tam giác thỏa mãn bài toán. Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác này là $a; b; c$ lần lượt là các cạnh ứng với các đường cao có độ dài là $1; \sqrt{5}; 1+\sqrt{5}$

Khi đó $S = a = b\sqrt{5} = c(1+\sqrt{5})$

$\Rightarrow$   

chắc là bổ sung rồi xài cauchy điểm rơi bạn ạ

Cauchy điẻm rơi: http://toantanchau.n....php?topic=32.0

có lẽ vậy, nếu sai thì kêu mìh chứ mình lười suy nghĩ quá 

Mình đọc topic này mãi rồi bạn ạ.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho x; y; z; t dương. Tìm min:

$\frac{x-1}{t+y}+\frac{1-x}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.