Quay trở lại với Topic, chắc hẳn các bạn đang mở phần mềm GSP trên máy tính. Chúng ta sẽ bắt đầu sử dụng phần mềm này.
Trong phạm vi kiến thức hạn hẹp đã biết về nó, mình xin trình bày 1 số thao tác. Các bạn có thể đưa câu hỏi trực tiếp lên Topic này.
( Các bạn hoàn toàn có thể tự mầy mò hay tham khảo bản hướng dẫn ở trên )

I. Cách vẽ đồ thị trong câu Khảo sát hàm số, tính Diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, hình giải tích.
Trên thanh công cụ, ta nháy vào Đồ thị

Tiếp đó ta vào Vẽ đồ thị mới ( Ctrl+G ) cửa sổ hiện ra :

Ta nhập đồ thị hàm số cần vẽ vào ( Ví dụ ${x^3} + 2{x^2} + 3$ thì ta gõ: x^3+2x^2+3 )
Nhấn Đồng ý ta thu được đồ thị sau:


Ngoài ra còn một số thao tác khác:
-Nếu muốn ẩn những kẻ ô vuông thì ta vào Đồ thị -> Ẩn lưới.
-Nếu muốn vẽ thêm tiệm cận thì các bạn xác định tiệm cận rồi vẽ 1 đồ thị nữa .
Ví dụ TCN : $y=2$ thì các bạn thực hiện thao tác như trên và gõ vào cửa sổ : 2( tức là hàm $y=2$).
- Muốn chèn thêm một số điểm lên đồ thị thì ta nháy đúp vào điểm rồi điền tên điểm.
- Đặc biệt: Muốn vẽ tiệm cận đứng ( TCĐ ) ta cần làm như sau:
Thực hiện các thao tác để vào đến cửa sổ New Function như trên.
Sau đó vào P/trình đường và chọn $x=f(y)$.

Sau đó nhập đường cần vẽ vào. Ví dụ muốn vẽ đường $x=1$ ta nhập số 1 vào cửa sổ rồi nhấn Đồng ý.

Với một số thao tác như trên, các bạn hoàn toàn có thể làm trọn vẹn câu : Khảo sát hàm số, Hình giải tích trong mặt phẳng hay các bài toán Ứng dụng Tích phân khác.

Còn rất nhiều thao tác để các bạn tìm tòi. Hãy tìm hiểu, sáng tạo để hiệu chỉnh cho hình của các bạn bắt mắt hơn.

--------------------------------------------------------------------------------------


II. Các vẽ các hình cơ bản, hình không gian.
Cái này thì đơn giản hơn rất nhiều. Các kí hiệu đã hiện ra ngay ở giao diện

Các bạn hoàn toàn có thể tự tìm hiểu.
-Kí hiệu Mũi tên : để Chọn, Xoay, Di chuyển các điểm, đường được chọn.
-Kí hiệu Chấm: biểu thị điểm.
-Kí hiệu Đường tròn : đương nhiên để vẽ đường tròn.
-Kí hiệu Đoạn thẳng : để vẽ Đoạn thẳng, Đường thẳng, Tia.
….
Các bạn có thể tùy chỉnh một số dạng cho điểm và đường.
+Với điểm:
- Ta chọn điểm rồi nháy chuột phải. Khi đó, ta sẽ tùy chọn các dạng cho điểm


+Với đường:
- Ta cùng làm tương tự:

Ta có thể chọn kiểu nét ''đứt'' cho hình không gian.


-------------------------------------------------------------------------


III. Đưa hình lên diễn đàn hoặc đưa vào Word.

Sau khi đã hoàn thành Hình trên GSP chúng ta sẽ chèn hình vào Word hoặc đưa lên diễn đàn. Chúng ta sẽ làm như thế nào?
*Với Word thì đơn giản hơn, ta chỉ việc copy hình trong GSP rồi Paste vào Word ( Ấn Ctrl+A rồi Ctrl+C, sau đó vào Worf ấn Ctrl+V )

*Với việc đưa hình lên diễn đàn, ta cũng Copy rồi Paste vào phần vẽ Paint. Ta có được ngay hình như sau:


Ngoài ra: Ta cũng có thể chụp ảnh hình trên GSP lại bằng cách nhấn nút Chụp ảnh PrtSC <Print Screen> Cạnh nút F12 đó .
Sau đó vào phần vẽ Paint( máy nào cũng có ), ấn Ctrl+V .Các bạn cắt gọt cho đẹp ( Nút Hình chữ nhật để cắt ) ta cũng sẽ được hình như trên.

Sau cùng, các bạn Save (lưu lại), ( nên để dưới dạng file .JPG cho nhẹ). Tiếp đó các bạn đưa ảnh lên các trang web như: Facebook.com, upanh.com ,…..
Mình thì upload lên upanh.com. ( các bạn đăng kí rồi upload lên.)
Copy đường link diễn đàn ( chỗ mũi tên ý) của ảnh :


Sau đó ta Paste vào bài viết trên diễn đàn. Thế là xong!

Trên đây là một số kinh nghiệm cơ bản, có thiếu sót gì mong anh em bỏ qua.
Mong rằng các anh em có những hình vẽ chất lượng để xây dựng VMF lớn mạnh hơn.
Chú ý: Hiện tại diễn đàn đã có chức năng up ảnh trực tiếp. Ta có thể bỏ qua bước upload lên các trang khác vd upanh.com.

dù sao tích hợp nó lên vẫn hơn chứ bạn

Bài toán 1 (do nthoangcute đề xuất)

Đề bài:
Giải phương trình: $2+4+...+x=526$
Với $x$ là một số hạng của cấp số nhân: $2,4,...$

Lời giải (của một bạn lớp 6)
Do giả thiết thì $x$ phải có dạng $x=2^n$ ($n \in N^*$)
Phương trình trở thành $2+2^2+...+2^n=526$
$\Leftrightarrow 2.\frac{2^n-1}{2-1}=526$
$\Leftrightarrow 2^n-1=263$
$\Leftrightarrow 2^n=264$
$\Leftrightarrow x=264$ (do $x=2^n$)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=264$

Vậy theo bạn lời giải trên đã đúng chưa?

Có cách khác nè bạn ^^
Ta có:
A=2+4+...+x=526

2A=4+8+...+x+2x=1052
\gg A=2x-2=526
hay 2x=528
x=264
Vậy x=264

Sau đây là một bài toán mà các học sinh lớp 6 "hay nhầm":
Bài toán 2 (do nthoangcute đề xuất)

Đề bài: Chứng minh: $2^{3^{100}}>3^{2^{100}}$
Lời giải: Có
$2^{3^{100}}=8^{100}$
$3^{2^{100}}=9^{100}$
Mà $ 8^{100} < 9^{100} $ nên $2^{3^{100}}<3^{2^{100}}$
Suy ra đề bài sai ! (Suy ra "đỡ phải làm")
________________________________________
Liệu bài làm trên có đúng không ? Thử giải thích xem !

Nhầm rồi:
$2^{3^{100}}$ không bằng $8^{100}$ mà phải tính $3^{100}$ trước rồi mới lấy 2 lũy thừa cho số vừa tìm được.

a) Một bạn học sinh trả lời như sau:
Bài toán sai đề rồi
Nếu n=2 thì sao
2^2+4.2+5=17(không chia hết cho 8)

Đề bài nói rằng số lẻ thì không chia hết, không nói rằng không phải số lẻ thì sẽ chia hết

b) Một bạn bon chen:
Đúng là sai đề: Đề là $n^2+4n+5$ chứ không phải $n^2+2n+5$ đâu bạn! Mặc dù hướng giải của bạn đúng! $n^2+4n+5=n(n+4)+5$. Đến đây ta chỉ cần chứng minh $n(n+4)$ không chia 8 dư 3 thì hiển nhiên $n(n+4)+5$ cũng không chia hết cho 8

Không hiểu cái này có nghĩa là gì

Hoặc có thể cách như sau cũng bằng cauchy ngược

$\frac{\sqrt{z-1}}{z}=\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}\leq \frac{z-1+1}{2z}=\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{2\sqrt{2(y-2)}}{2y\sqrt{2}}\leq \frac{y-2+2}{2y\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{x-3}}{x}=\frac{2\sqrt{3(x-3)}}{2x\sqrt{3}}=\frac{3+x-3}{2x\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Xong Công lại là ra   

Sai

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn được không

Hãy nhìn vào biến đổi ở dòng đầu là bạn sẽ thấy

Tìm $a$ để tích các nghiệm của phương trình $(x+a)(x^2-a^2-2a-1)=0$ nhỏ hơn nghiệm nhỏ nhất của phương trình này.

 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để có bất đẳng thức

$(a^2+b^2+c^2)^2\leq n(a^4+b^4+c^4)$

Ai đó hãy giải thích cái dạng kiểu này cho em hiểu,em không hiểu cái đề.

*Với n=3 thì BĐT đúng theo Cauchy-Schward.

*Với $n< 3$ thì BĐT có thể sai. Chẳng hạn như thay $a=b=c=1$ vào thì $VT=3^2=9$; $VP<3.3=9$, tức là $VP<VT$ nên sai. Dạng bài này là có nghĩa là bạn phải tìm một số (thường là tự nhiên hoặc hữu tỉ) $n$ (nhỏ nhất hay lớn nhất) sao cho một BĐT cho trước luôn luôn xảy ra. Để làm điều này thì bạn phải đoán giá trị của $n$ (bằng phương pháp dự đoán điểm rơi của BĐT), sau đó chứng minh với $n$ bằng giá trị đó ta có một BĐT đúng, rồi chứng minh với $n$ nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị đó thì ta có một BĐT có thể sai bằng cách xét một giá trị nào đó của các biến, nhưng thường gíá trị được xét chính là điểm rơi của BĐT mà bạn vừa c/m xong. Vậy thôi.

Đề bài đúng phải là :$\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}+\frac{1}{d^4+1}=1$.CMR:$(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})\leq \frac{4}{\sqrt{3}}$

Sao bạn sửa đề khác quá thế..có lẽ đó ko phải sự nhầm lẫn đâu..............

Đây gọi là BĐT Cauchy-Schwars hay gọi là BĐT Bunhiacopxiki đc mà bạn

Tại sao?

Áp dụng bđt bunhiacopki ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y} \geq \frac{9}{x+2y}, \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{y+2z},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{2x+z}$. Cộng theo vế các bđt cùng chiều và rút gọn suy ra  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+|\frac{1}{z}\geq 3.\left ( \frac{1}{x+2y}+\frac{1}{y+2z}+\frac{1}{z+2x} \right )$. Dấu = xảy ra khi $x=y=z$

Đây là BĐT AM-GM nhé bạn

cho 3 số a,b,c > 0 thỏa mãn a²+b²+c²= $\frac{5}{3}$. Chứng minh:

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}$

Cảm ơn các bạn.

Dòng này phải là $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}$

Cách giải đã có tại đây.

Chứng minh rằng với n số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ thì $\frac{a_{1}}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_n}{a_{1}+a_{2}}\geq \frac{n}{2}$.

Cái đề này đúng hay sai hả mọi người? Nếu đúng thì chứng minh hộ em với!

Xem tổng quát tại : Wikipedia, the free encyclopedia

Nhiều người vẫn gọi đây là một Netbitt's inequality ở dạng tổng quát, thật ra nó chính là Shapiro's inequality. Bất đẳng thức này không phải lúc nào cũng đúng, nó chỉ đúng khi:

   - $n<12$ với $n$ chẵn

   - $n<23$ với $n$ lẻ.

Do vậy, với đề bài như bạn đưa, có thể nói đó là một đề bài sai vì thiếu nhiều điều kiện.

Cơ bản là bạn đâu có hỏi bài lớp 8    Chỗ nào bạn không hiểu cứ hỏi.

Tại sao có $(\sum \frac{1}{bc+b+1})^{2}=1$ hả bạn?

chắc là không hiểu cái dòng thứ $3$ mà vế phải là $1$ đó , bạn giải thích nốt đi (p/s : lớp $8$ mà chơi bài này là không vừa )

Bạn giảng hộ mình chỗ này nhé.

cơ bản nếu lớp 8 thì sẽ không có bài này
$\sum$ là tổng có 2 dạng, cái này hỏi bangbang1412

Mình hỏi rồi bạn nhé. Mình chỉ chưa hiểu dòng 3 thôi.

Đây này câu

Giải:

Ta xét hiệu $$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{ca(a-c)}{(b+c)(b^2+c^2)}$$

$$\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)}{(c+a)(c^2+a^2)}-\frac{ab(a-b)}{(c+a)(c^2+a^2)}$$

$$\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=-\frac{ca(a-c)}{(a+b)(a^2+b^2)}-\frac{bc(b-c)}{(a+b)(a^2+b^2)}$$

Cộng theo vế ta có

$VT-VP=\sum _{a,b,c}ab(a-b)\begin{bmatrix} \frac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \end{bmatrix} \geq 0$

Điều này hoàn toàn luôn đúng khi ta giả sử $a \geq b \geq c >0$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

Cách này chẳng khác gì cách của mình!

Có cách nào ruồi muỗi k, cách của bạn trâu bò quá( chưa sáng tạo và mất nhìu công sức)

Thật ra cũng không phải là không có, nó nằm trong cuốn Sáng tạo BĐT của Phan Kim Hùng, nhưng mình biết rằng mình không có khả năng tìm ra nó (sách dày quá) 

Nhưng nếu bạn có đủ kiên trì thì hãy tìm nhé!

 

5.Cho a,b,c >0.CM $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

 

$VT-VP$=$\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c})$.

Tiến hành quy đồng và sắp xếp bạn sẽ được $VT-VP=\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(c^2+a^2)(a+c)} \right ]$

$=\sum \frac{ab(a-b)(a^2+b^2+c^2+\sum ab)}{(b^2+c^2)(b+c)(c^{2}+a^{2}(c+a))}$

Biểu thức cuối luôn không âm. BĐT được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bạn chuyển vế, thực hiện phép tính rồi thêm bớt để các hạng tử có cùng mẫu...không khó

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh:

$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}> \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$ 
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 16(a+b+c)$. CMR

 

$\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leqslant \frac{8}{9}$

-------------------------------------

P/s: BĐT trá hình

Giải thích hộ mình chỗ này được không???

Đâu nhầm đâu, ra nghiệm $(p,q)=(3,3),(13,3), (3,13)$ mà.

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $p\leqslant q$, nếu $p=q$ thì $p=q=3$

Nếu $p=3, q>3$ thì $13(5^q-2^q)\equiv 0\pmod{q}$, mà $5^q-2^q\equiv 3\pmod{q}$ nên $q=13$

Nếu $q>p>3$, do $5^p-2^p\equiv 3\pmod{p}$ nên $5^q-2^q\equiv 0\pmod{p}$

Do $p,q\ne 5$ nên $5^{p-1}-2^{p-1}\equiv 0\pmod{p}$ và $(q,p-1)=1$ nên tồn tại $m,n>0$ sao cho $|mq-(p-1)n|=1$

Do đó $5^{n(p-1)}2^{mq}\equiv 2^{n(p-1)}5^{mq}\pmod{p}$ hay $5\equiv 2\pmod{p}$ hay $p=3$ vô lý.

Sai ngay từ khâu đọc đề 

Bạn chỉ ra thử mình đọc sai chỗ nào vậy

(Kiểu này có khi lại bị nhắc nhở vì spam mất).

Đề là $\frac{(5^p-2^q)(5^q-2^p)}{pq}$ chứ không phải là $\frac{(5^p-2^p)(5^q-2^q)}{pq}$ 

Giải phương trình:

1, $\cos 2x-\cos 6x+4(3sinx-4\sin ^3x+1)= 0$

2, $\cos 3x.\cos ^{3}x+\sin ^{2}x.\sin 3x= \frac{\sqrt{2}}{4}$

3, $\cos 10x+2\cos ^{2}4x+6\cos 3x.\cos x=\cos x+8\cos x.\cos ^{3}3x$

4, $2\cos ^{3}x+\cos 2x+\sin x=0$