Chủ đề này có 3 trả lời

[Phong Anh]

 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để có bất đẳng thức

$(a^2+b^2+c^2)^2\leq n(a^4+b^4+c^4)$

Ai đó hãy giải thích cái dạng kiểu này cho em hiểu,em không hiểu cái đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 04-11-2014 - 15:12

[baotranthaithuy]

đặt $ x=a^{2} ; y=b^{2} ; z=c^{2} $

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

suy ra n bé nhất bằng 3

  còn đề có nghĩa là tìm n bé nhất có thể để  BĐT XẢY RA

[shinichikudo201]

 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để có bất đẳng thức

$(a^2+b^2+c^2)^2\leq n(a^4+b^4+c^4)$

Ai đó hãy giải thích cái dạng kiểu này cho em hiểu,em không hiểu cái đề.

*Với n=3 thì BĐT đúng theo Cauchy-Schward.

*Với $n< 3$ thì BĐT có thể sai. Chẳng hạn như thay $a=b=c=1$ vào thì $VT=3^2=9$; $VP<3.3=9$, tức là $VP<VT$ nên sai. Dạng bài này là có nghĩa là bạn phải tìm một số (thường là tự nhiên hoặc hữu tỉ) $n$ (nhỏ nhất hay lớn nhất) sao cho một BĐT cho trước luôn luôn xảy ra. Để làm điều này thì bạn phải đoán giá trị của $n$ (bằng phương pháp dự đoán điểm rơi của BĐT), sau đó chứng minh với $n$ bằng giá trị đó ta có một BĐT đúng, rồi chứng minh với $n$ nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị đó thì ta có một BĐT có thể sai bằng cách xét một giá trị nào đó của các biến, nhưng thường gíá trị được xét chính là điểm rơi của BĐT mà bạn vừa c/m xong. Vậy thôi.

[Nguyentiendung9372]

 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để có bất đẳng thức

$(a^2+b^2+c^2)^2\leq n(a^4+b^4+c^4)$

Ai đó hãy giải thích cái dạng kiểu này cho em hiểu,em không hiểu cái đề.

BĐT tương đương 

$$\sum {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}  + \left( {n - 3} \right)\sum {{a^4}}  \ge 0$$

Do BĐT đúng vs mọi $a, b, c$ nên cho $a=b=c$, ta có

$$\left( {n - 3} \right)\sum {{a^4}}  \ge 0 \Leftrightarrow n \ge 3$$

Suy ra min $n=3$